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中考数学二次函数综合题及答案

一、二次函数
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•（AG+BM）
=PN•OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•xG=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4  得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，
即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7  即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，

∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=−，
∴t=AP=OAOP=1+4e+3=，
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．

3．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；
（2）已知，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标．
②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解1）∵A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（－3，0），
∴点B的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.
设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则.
∵，∴，解得.
当时；当时，，
∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：
，解得：.
∴直线AC的解析式为.
∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3).
又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).

∴.
∵，
∴线段QD长度的最大值为.

4．如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）.
（2）.
（3）①.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线经过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为.
又∵抛物线经过C（0，3），∴.
∴抛物线的解析式为：，即.
（2）∵△PBC的周长为PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.
∴△PBC的周长最小是：.
（3）①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴.
∴.
∴S与m的函数关系式为.
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

5．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期的销售量为件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

6．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，﹣4）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．
令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．
（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．
将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0）B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴m=或（舍弃），
∴Q（，）．
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．

①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．
∵此时点M的横坐标为1，
∴y=8，
∴M（1，8），N（2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，
此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.

8．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．

9．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=-x
则P点坐标为（1，-）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

10．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知，解得：，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，设M点的横坐标为xM，N点的横坐标为xN，

∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（xN﹣1）-BG•（xM-1）=1，
∴xN﹣xM=1，
由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
由xN﹣xM=1得=1，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，

设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
（a）当△PCD∽△FOP时，，
∴，
∴t2﹣（1+m）t+2=0①；
(b)当△PCD∽△POF时，，
∴，
∴t=（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：m=2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，
∴m=2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．

11．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

12．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．

13．已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm²)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知图像中0~2.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.5~7.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）①分别求出在C点相遇和在B点相遇时的速度，取中间速度，注意C点相遇时的速度不能取等于；②过M点做MH⊥AC，则
得到S1，同时利用=15，得到S2，再得到关于x的二次函数，利用二次函数性质求得最大值
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图

=15

过M点做MH⊥AC，则
∴
∴

=
=
因为，所以当时，取最大值.
【点睛】
本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S2

14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=；（2）DE=；（3）存在点P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【详解】
（1）∵抛物线y=x2+x-2，
∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，
∵抛物线y=x2+x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），
∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即直线l的函数解析式为y=−x−2；
（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，

由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°，
∴AC=2，
∴OD=，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
即，得AD=，
∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴，
解得，AF=，DF=，
∴OF=4-=，
∴m=-，
当m=-时，y=×（−）2+×（-）-2=-，
∴EF=，
∴DE=EF-FD=−＝；
（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，

∵点A（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠BAP=∠BCO-∠BAG，∠GAM=∠OAC-∠BAG，
∴∠BAP=∠GAM，
∵点G（0，-1），AC=2，OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴AG=，，即，
解得，GM=，
∴AM==，
∴tan∠GAM=，
∴tan∠PAN=，
设点P的坐标为（n，n2+n-2），
∴AN=4+n，PN=n2+n-2，
∴，
解得，n1=，n2=-4（舍去），

当n=时，n2+n-2=，
∴点P的坐标为（，），
即存在点P（，），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．

15．如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,,；（3）的解析式为或.
【解析】
分析：（1）把和代入求出a、c的值，进而求出y1，再根据平移得出y2即可；
（2）抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；
（3）设,则,根据对称性得,分点在直线的左侧或右侧时,结合以构成的三角形与全等求解即可.
详解:(1)由题意知，
，
解得，
所以,抛物线y的解析式为；
因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，
所以抛物线的解析式为，
即： ；
(2)抛物线