2020-2021备战中考数学二次函数(大题培优)附答案.doc

2020-2021备战中考数学二次函数(大题培优)附答案一、二次函数1如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【答案】（1）二次函数的表达式y=x22x3；（2）PM最大=；P（2，3）或（3-，24）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x22x3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为y=x3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n）2+，当n=时，PM最大=；当PM=PC时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n22n3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（n2+3n）2=n2+（n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，n22n3=2-4，P（3-，2-4）；综上所述：P（2，3）或（3-，24）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA1，tanBAO3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与COD相似时点P的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得DOCAOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，得到EFCEMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【详解】（1）在RtAOB中，OA1，tanBAO3，OB3OA3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OCOB3，ODOA1，A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0），代入解析式为，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）抛物线的解析式为yx22x+3，对称轴为l1，E点坐标为（1，0），如图，分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，CFE=PME=90，CEF=PEM，EFCEMP，MP3ME点P的横坐标为t，P（t，t22t+3）P在第二象限，PMt22t+3，ME1t，t0，t22t+33（1t），解得：t12，t23（与t0矛盾，舍去）当t2时，y（2）22（2）+33，P（2，3）综上所述：当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【点睛】本题是二次函数综合题解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP3ME3已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，4），BCD是直角三角形；（3）【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出BOC和BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可试题解析：解（1），m，n是一元二次方程的两个实数根，且|m|n|，m=1，n=3，抛物线的图象经过点A（m，0），B（0，n），抛物线解析式为；（2）令y=0，则，C（3，0），=，顶点坐标D（1，4），过点D作DEy轴，OB=OC=3，BE=DE=1，BOC和BED都是等腰直角三角形，OBC=DBE=45，CBD=90，BCD是直角三角形；（3）如图，B（0，3），C（3，0），直线BC解析式为y=x3，点P的横坐标为t，PMx轴，点M的横坐标为t，点P在直线BC上，点M在抛物线上，P（t，t3），M（t，），过点Q作QFPM，PQF是等腰直角三角形，PQ=，QF=1当点P在点M上方时，即0t3时，PM=t3（）=，S=PMQF=，如图3，当点P在点M下方时，即t0或t3时，PM=（t3）=，S=PMQF=（）=综上所述，S=考点：二次函数综合题；分类讨论4（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值试题解析：（1）由题知点在抛物线上所以，解得，所以所以，当时，答：，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）当x=2或x=10时，所以可以通过（3）令，即，可得，解得答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用5如图，抛物线yax2+bx+4与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE2：1，求E点坐标；（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）点P的坐标P1（1，0）或P2（7，0）或P3（，0）或P4（，0）【解析】【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D点在对称轴时是DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可 （3）作EHAB交BC于H，则FABFEH，FBAFHE，易证ABFEHF，得,得EH=2，设E（x，），则H（x2，），yEyH，解出方程x1或x2，得到E点坐标 （4）PBN是等腰三角形，分成三种情况，BPBC时，利用等腰三角性质直接得到P1（1，0）或P2（7，0），当NBNP时，作NHx轴，易得NHBCOB，利用比例式得到NH、 BH从而得到 PHBH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，当PNPB时，取NB中点K，作KPBN，交x轴于点P，易得NOBPKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点坐标【详解】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入yax2+bx+4，得 解得a，b，抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴为直线x1，D的横坐标为1，由（1）可得C（0，4），B（3，0），直线BC：DADB，DAC的周长AC+CD+ADAC+CD+BD，连接BC，与对称轴交于点D，此时CD+BD最小，AC为定值，此时DAC的周长，当x1时，y1+4，D（1，）；（3）作EHAB交BC于H，则FABFEH，FBAFHE，ABFEHF，AF：FE2：1，AB4，EH2，设E（x，），则H（x2，）EHAB，yEyH，=解得x1或x2，y或4，E（1，）或（2，4）；（4）A（1，0）、B（3，0），C（0，4）AB4，OC4，点M运动到点A时，BMAB4，BN4，PBN是等腰三角形，BPBC时，若P在点B左侧，OPPBOB431，P1（1，0），若P在点B右侧，OPOB+BP4+37，P2（7，0）；当NBNP时，作NHx轴，NHBCOB，NHOC， BHBC，PHBH，BP，OPBPOB，P3（，0）；当PNPB时，取NB中点K，作KPBN，交x轴于点P，NOBPKB，PB，OPOBPB3P4（，0）综上，当PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（1，0）或P2（7，0）或P3（，0）或P4（，0）【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6如图，菱形ABCD的边长为20cm，ABC120，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿AB的路线向点B运动；过点P作PQBD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0t5（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1) S=2（0t5）； (2) ;(3)见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据S=SABC-SAPQ，代入可得S与t的关系式；（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD是菱形，ABD=DBC=ABC=60，ACBD，OAB=30，AB=20，OB=10，AO=10，由题意得：AP=4t，PQ=2t，AQ=2t，S=SABCSAPQ，=，= ，=2t2+100（0t5）；（2）如图2，在RtAPM中，AP=4t，点Q关于O的对称点为M，OM=OQ，设PM=x，则AM=2x，AP=x=4t，x=，AM=2PM=，AM=AO+OM，=10+102t，t=；答：当t为秒时，点P、M、N在一直线上；（3）存在，如图3，直线PN平分四边形APMN的面积，SAPN=SPMN，过M作MGPN于G， ，MG=AP，易得APHMGH，AH=HM=t，AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=102t，t=10=102t，t=答：当t为秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.7如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，1）；（3）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y3）2=1+y2；当CD为斜边时得到4+（y3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明CEF=90得到ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，则PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=t2+4t，然后利用二次函数的性质解决问题试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x24x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得：y=1，此时D点坐标为（2，1）；（3）易得BC的解析式为y=x+3直线y=x+m与直线y=x平行，直线y=x+3与直线y=x+m垂直，CEF=90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），PF=PH=t，PG=t+3（t24t+3）=t2+3t，PE=PG=t2+t，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=t2+3t+t=t2+4t=（t2）2+4，当t=2时，PE+EF的最大值为4点睛：本题考查了二次函数的综合题熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式8如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2求：的最大值；如图2，是否存在点D，使得DCA2BAC？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）当时，的最大值是；点D的坐标是【解析】【分析】（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；（2）如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，DCF=2BAC=DGC+CDG，解直角三角形即可得到结论【详解】解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），抛物线y=-x2+bx+c经过AC两点，抛物线解析式为： ;（2）令，解得： , B（1，0）过点D作轴交AC于M，过点B作轴交AC于点N， 设： 当时，的最大值是 ; A（-4，0），B（1，0），C（0，2），AC=2，BC=，AB=5，AC2+BC2=AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P（-，0），PA=PC=PB=，CPO=2BAC，tanCPO=tan（2BAC）=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tanCDG=tanBAC=，即RC：DR=，令D（a，-a2-a+2），DR=-a，RC=-a2-a，（-a2-a）：（-a）=1：2，a1=0（舍去），a2=-2，xD=-2，-a2-a+2=3,点D的坐标是【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大9已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+6；（2）当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM，先求出直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6），则N（t，t+6），由SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PNOB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PHOB知DHAO，据此由OA=OB=6得BDH=BAO=45，结合DPE=90知若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案【详解】（1）抛物线过点B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为y=a（x6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=，所以抛物线解析式为y=（x6）（x+2）=x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6）其中0t6，则N（t，t+6），PN=PMMN=t2+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN（AG+BM）=PNOB=（t2+3t）6=t2+9t=（t3）2+，当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）如图2，PHOB于H，DHB=AOB=90，DHAO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PEx轴、PDx轴，DPE=90，若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，EDP与BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.10在平面直角坐标系xOy中（如图）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，）或（0，）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=（x2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，t），根据旋转性质得PDC=90，DP=DC=t，则P（2+t，t），然后把P（2+t，t）代入y=x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，2），设M（0，m），当m0时，利用梯形面积公式得到（m+2）2=8当m0时，利用梯形面积公式得到（m+2）2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标【详解】（1）把A（1，0）和点B（0，）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+；（2）y=（x2）2+，C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，t），线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处，PDC=90，DP=DC=t，P（2+t，t），把P（2+t，t）代入y=x2+2x+得（2+t）2+2（2+t）+=t，整理得t22t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，E点坐标为（2，2），设M（0，m），当m0时，（m+2）2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；当m0时，（m+2）2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【答案】（1）二次函数的表达式y=x22x3；（2）PM最大=；P（2，3）或（3-，24）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x22x3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为y=x3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n）2+，当n=时，PM最大=；当PM=PC时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n22n3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（n2+3n）2=n2+（n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，n22n3=2-4，P（3-，2-4）；综上所述：P（2，3）或（3-，24）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.12如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E（1）当a=1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设DEO=，4560，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关理由见解析；（3）a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于N两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x22x+3，顶点D(1，4)，C(0，3)，直线CD的解析式为y=x+3，E（3，0），OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关理由：y=ax2+2ax3a，C(0，3a)，D(1，4a)，直线CD的解析式为y=ax3a，当y=0时，x=3，E（3，0），OE=3，OE的长与a值无关(3)当=45时，OC=OE=3，3a=3，a=1，当=60时，在RtOCE中，OC=OE=3，3a=3，a=，4560，a的取值范围为a1(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于NPD=PE，PMD=PNE=90，DPE=MPN=90，DPM=EPN，DPMEPN，PM=PN，PM=EN，D(1，4a)，E(3，0)，EN=4+n=3m，n=m1，当顶点D在x轴上时，P(1，2)，此时m的值1，抛物线的顶点在第二象限，m1n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)a1；(4)n=m1（m1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。13已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm)，S与t的函数关系如图所示：(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;(2)如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.求动点N运动速度的取值范围;试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2，10；(2)；当时，取最大值.【解析】【分析】（1）由题意可知图像中02.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.57.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）分别求出在C点相遇和在B点相遇时的速度，取中间速度，注意C点相遇时的速度不能取等于；过M点做MHAC，则 得到S1，同时利用=15，得到S2，再得到关于x的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)52.5=2；（7.5-2.5）2=10 (2)解：在C点相遇得到方程在B点相遇得到方程 解得 在边BC上相遇，且不包含C点 如下图 =15过M点做MHAC，则 = = 因为，所以当时，取最大值.【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S214如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点【答案】（1）抛物线解析式为y=x21；（2）ABM为直角三角形理由见解析；（3）当m时，平移后的抛物线总有不动点【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OAOM1，ACBC3，分别得到MAC45，BAC45，得到BAM90，进而得到ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，方程总有实数根，则0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）点A是直线与轴的交点，A点为（-1，0）点B在直线上，且横坐标为2，B点为（2，3）过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：，解得：抛物线的解析式为（2）ABM是直角三角形，且BAM90理由如下：作BC轴于点C，A（-1，0）、B（2，3）ACBC3，BAC45；点M是抛物线的顶点，M点为（0，-1）OAOM1，AOM90MAC45；BAMBACMAC90ABM是直角三角形（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，化简得：当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）15抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C（1）若m=3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使SACE=SACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（1，4），FGy于G，在线段OG上是否存在点P，使OBP=FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x3=（x+1）24；对称轴是：直线x=1；（2）点E的坐标为