北京清华大学附属中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案.doc

北京清华大学附属中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．4a+4b+3＝4（a+b）+3 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
2．下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．±8 D．±6
5．如图，已知，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）

A． B． C． D．
7．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
8．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-y2=(x-y)2 B．-a+a2=-a(1-a)
C．4x2-4x+1=4x(x-1)+1 D．a2-4b2=(a+4b)(a -4b)
9．下列计算正确的是( )
A．a2+a3=a5 B．a6÷a2=a3 C．(a2)3=a6 D．2a×3a=6a
10．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.

A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．

12．如图，在△ABC中，ABAC，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，若△ABC的周长为26cm，BC=6cm，则△BCD的周长是__________cm．

13．分解因式：ax2﹣2ax+a=___________．
14．若正多边形的内角和等于，那么它的每一个外角是 __________
15．已知，，则的值为__________．
16．若△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=50°，则∠EAD=_____°．

17．如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=5cm．D、E分别是AB、AC边上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′的位置，点A′在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为________cm．

18．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．
19．如图所示，在中，，平分，于，，则________．

20．如图，中，，平分于点，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________．

三、解答题
21．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点.分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E,连结AE.
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE.

22．已知：如图，在中，，，

（1）作的平分线，交于点；作的中点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接，求证：．
23．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．

24．问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　 　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

26．设，则的最小值为______．
27．如图，中，，，平分，于，，求的度数．

28．先化简，再求值：，其中，．
29．先化简，再求值：，其中，．
30．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系，对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：，比如指数式可以转化为，对数式可以转化为，我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： )，理由如下：
设则
∴，由对数的定义得
又∵，
所以，解决以下问题：

（1）将指数转化为对数式____；计算___；
（2）求证：
（3）拓展运用：计算

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一、选择题

1．C
解析：C
【解析】
【分析】
判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【详解】
解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；
C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；
D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握把多项式转化成几个整式积的形式．
2．C
解析：C
【解析】
解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选C．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用同底数幂的乘除运算法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别计算可得出答案．
【详解】
解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、a8÷a4=a4，故此选项错误；
D、（-a3）2=a6，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】
，
∵是一个完全平方式，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD，在△ADE中可求得∠EAD，则可求得∠BAC．
【详解】
解：∵∠E=70°，∠D=30°，
∴∠EAD=180°-∠E-∠D=180°-70°-30°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠EAD=80°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解： A、由于∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，具备两边及其一边的对角相等，
所以△ABC与△BAD不全等，故本选项符合题意；
B、在△ABC与△BAD中，∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，
∴△ABC≌△BAD（ASA），故本选项不符合题意；
C、在△ABC与△BAD中，∵∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（AAS），故本选项不符合题意；
D、在△ABC与△BAD中，∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基本题目，熟练掌握判定三角形全等的方法是关键．
8．B
解析B
【解析】
A. x2-y2=(x-y)（x+y），故A选项错误；B. -a+a2=-a(1-a)，正确；C. 4x2-4x+1=（2x-1）2，故C选项错误；D. a2-4b2=(a+2b)(a -2b)，故D选项错误，
故选B.
9．C
解析：C
【解析】
试题分析： A、a2与a3是相加，不是相乘，不能运用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；
B、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得a6÷a2=a4，故本选项错误；
C、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得（a2）3=a6，故正确；
D、单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．因此可得2a×3a=6a2，故本选项错误．
故选C．
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】
如图，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
二、填空题

11．18
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】
∵在△AB
解析：18
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝ABAC＝10+8＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
12．16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD，根据△ABC周长求出AC，推出△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AC，代入求出即可．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=B
解析：16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD，根据△ABC周长求出AC，推出△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AC，代入求出即可．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD
∵AB=AC，△ABC的周长为26，BC=6，
∴AB=AC=(26-6)÷2=10，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+10=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和等腰三角形的应用，解此题的关键是求出AC长和得出△BCD的周长为BC+AC，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．a（x-1）2．
【解析】
【分析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：ax2-2ax+a，
=a（x2-2x+1），
=a（x-1）2．
【点睛】
本题考查
解析：a（x-1）2．
【解析】
【分析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：ax2-2ax+a，
=a（x2-2x+1），
=a（x-1）2．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．60
【解析】
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得
解析：60

【解析】
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
15．6
【解析】
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正
解析：6
【解析】
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键．
16．5
【解析】
【分析】
由三角形的高得出，求出，由三角形内角和定理求出 ，由角平分线求出，即可得出的度数．
【详解】
解：中，是边上的高，
，
，
，
平分，
，
．
故答案为：5．
【点睛】
本题
解析：5
【解析】

【分析】
由三角形的高得出，求出，由三角形内角和定理求出 ，由角平分线求出，即可得出的度数．
【详解】
解：中，是边上的高，
，
，
，
平分，
，
．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．21
【解析】
【分析】
由折叠性质可知，△ADE≌△A′DE，可得对应边相等，然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解．
【详解】
解：∵AB=AC=8
解析：21
【解析】
【分析】
由折叠性质可知，△ADE≌△A′DE，可得对应边相等，然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解．
【详解】
解：∵AB=AC=8，
∴△ABC是等腰三角形，
又由折叠性质可知AD=AD′，AE=AE′，
∴阴影部分图形的周长为，
BC+BD+AD′+AE′+CE，
=BC+BD+AD+CE+AE，
=BC+AB+AC，
=5+8+8，
=21，
故答案为：21．
【点睛】
本题主要考查轴对称折叠性质，正确理轴对称折叠性质是本题的解题关键．
18．③
【解析】
【分析】
根据正多边形的内角度数解答即可.
【详解】
∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；
∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其
解析：③
【解析】
【分析】
根据正多边形的内角度数解答即可.
【详解】
∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；
∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；
∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，
故答案为：③.
【点睛】
此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键.
19．【解析】
【分析】
由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】
解：∵在中，，
∴DC⊥AC，
∵平分，，
∴CD=DE，
∴；
故答案为：8cm；
【点睛】
本题
解析：
【解析】
【分析】
由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】
解：∵在中，，
∴DC⊥AC，
∵平分，，
∴CD=DE，
∴；
故答案为：8cm；
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，正确得到CD=DE．
20．④
【解析】
【分析】
根据“△ABC为等边三角形时，面积最大，周长最小”的结论求解．　
【详解】
解：如图，∵△ABC为等边三角形时，面积最大，周长最小，

此时，AD=4，BD=，AB=BC
解析：④
【解析】
【分析】
根据“△ABC为等边三角形时，面积最大，周长最小”的结论求解．　
【详解】
解：如图，∵△ABC为等边三角形时，面积最大，周长最小，

此时，AD=4，BD=，AB=BC=CA=，
∴,①错误；
又，∴ ，②错误；
，③错误，④正确．
故答案为④．
【点睛】
本题考查等边三角形的知识，掌握“同等条件下，等边三角形面积最大、周长最小”的结论是解题关键．
三、解答题

21．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意进行作图即可；
（2）根据题意可证明△ACD≌△ECD，再利用全等的性质及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明结论.
【详解】
解：（1）如图所示；

（2）证明：由题意可知，AC=AD=AB，CE=ED=AB，
∴AC=CE，AD=DE，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠ECD，
又∵AC=CE，
∴CO垂直平分AE，
∴l垂直平分AE.
【点睛】
本题考查了作图及线段的垂直平分线，需熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，学会应用“三线合一”证明线段的垂直平分线.
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，ED＝ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
【详解】
解：（1）作出的平分线； 作出的中点．
（2）证明：，，
，
，
在和中，

．

【点睛】
此题主要考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握基本作图的方法和证明三角形全等的判定方法．
23．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△ADB≌△ADC即可证明AB＝AC；
（2）连接BC，由中垂线的逆定理证明即可．
【详解】
证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴AB＝AC；
（2）连接BC，
∵△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．
24．（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】
（1）∠ABC∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．

证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
25．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y的值
（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y＝5，x•y＝
∴52-(x-y)2=4×
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
26．
【解析】
【分析】
把M化成完全平方的形式，再示出其最小值即可．
【详解】

当且仅当，表达式取得最小值．
故答案为：．
【点睛】
考查了完全平方公式，解题关键是把整式化成完全平方的形式．
27．
【解析】
【分析】
首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【详解】
解：∵，，
∴.
∵平分，∴.
∵于，∴，.
∴.
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
28．；﹣30
【解析】
【分析】
原式括号内先根据平方差公式计算，再合并同类项，然后计算除法，最后把a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=；
当，时，原式=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和代数式求值，属于基本题型，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
29．，
【解析】
【分析】
对原式分母平方差公式变形后通分、约分化简原式，再代值求解即可．
【详解】
解：原式，
，
当，时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、异分母的分式加减法，借助平方差公式变形找最简公分母是解答的关键．
30．（1），3；（2）证明见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；
（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M•N）＝logaM＋logaN和＝logaM−logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【详解】
解：（1）由题意可得，指数式43＝64写成对数式为：3＝log464，
故答案为：3＝log464；
（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am−n，由对数的定义得m−n＝，
又∵m−n＝logaM−logaN，
∴＝logaM−logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32＋log36−log34，
＝log3（2×6÷4），
＝log33，
＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．