中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案.doc

中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案一、平行四边形1如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转（090），过点 B作BFMN于点F如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）AF+BF=2OE,证明见解析;AFBF=2OE 证明见解析;BFAF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）过点B作BHOE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；过点B作BHOE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；同的方法可证试题解析：（1）AC，BD是正方形的对角线，OA=OC=OB，BAD=ABC=90，OEAB，OE=AB，AB=2OE，（2）AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BHOE于点HBHE=BHO=90OEMN，BFMNBFE=OEF=90四边形EFBH为矩形BF=EH，EF=BH四边形ABCD为正方形OA=OB，AOB=90AOE+HOB=OBH+HOB=90AOE=OBHAEOOHB（AAS）AE=OH，OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OEAFBF=2OE 证明：如图3，延长OE，过点B作BHOE于点HEHB=90OEMN，BFMNAEO=HEF=BFE=90四边形HBFE为矩形BF=HE，EF=BH四边形ABCD是正方形OA=OB，AOB=90AOE+BOH=OBH+BOHAOE=OBHAOEOBH（AAS）AE=OH，OE=BH，AFBF=AE+EFHE=OHHE+OE=OE+OE=2OEBFAF=2OE，如图4，作OGBF于G，则四边形EFGO是矩形，EF=GO，GF=EO，GOE=90，AOE+AOG=90在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，AOG+BOG=90，AOE=BOGOGBF，OEAE，AEO=BGO=90AOEBOG（AAS），OE=OG，AE=BG，AEEF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，BFAF=BG+GF（AEEF）=AE+OEAE+EF=OE+OE=2OE，BFAF=2OE2已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90；（2）由BMC=90，易证得ABMDMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由b2a，a0，b0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b2a，a0，b0，判定方程x2bx+a2=0的根的情况，即可求得答案试题解析：（1）b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若BMC=90，则AMB+DMC=90，又AMB+ABM=90，ABM=DMC，又A=D=90，ABMDMC，设AM=x，则，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当b2a时，存在BMC=90，（3）不成立理由：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质3如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B的位置，AB与CD交于点E.（1）求证：AEDCEB（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHBC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，过点作于， ， ， ， ， 、共线， ，四边形是矩形， ， .【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.4如图，ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿DA以1cm/s的速度向终点A运动点Q沿DBD以2cm/s的速度运动，回到点D停止以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN将PQN绕QN的中点旋转180得到MNQ设四边形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0t3）（1）当点N落在边BC上时，求t的值（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值（3）当点Q沿DB运动时，求S与t之间的函数表达式（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形PQFEN（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时t，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值试题解析：（1）PQN与ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合DQ=32t=3t=；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，PD=DQ，当0t时，此时，PD=t，DQ=2tt=2tt=0（不合题意，舍去），当t3时，此时，PD=t，DQ=62tt=62t，解得t=2； 综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，MN=BQPQ=MN=3t，BQ=32t3t=32t解得t=如图，当0t时，SPNQ=PQ2=t2；S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2，如图，当t时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，MN=PQ=3t，NE=BQ=32t，ME=MNNE=PQBQ=5t3，EMF是等边三角形，SEMF=ME2=（5t3）2；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时t，t=1或考点：几何变换综合题5已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定6(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EFBD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分ABD 求证：四边形BFDE是菱形；直接写出EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）详见解析；60（2）IHFH；（3）EG2AG2+CE2【解析】【分析】（1）由DOEBOF，推出EOOF，OBOD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EBED即可先证明ABD2ADB，推出ADB30，延长即可解决问题（2）IHFH只要证明IJF是等边三角形即可（3）结论：EG2AG2+CE2如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，先证明DEGDEM，再证明ECM是直角三角形即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，OBOD，EDOFBO，在DOE和BOF中， ，DOEBOF，EOOF，OBOD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，OBOD，EBED，四边形EBFD是菱形BE平分ABD，ABEEBD，EBED，EBDEDB，ABD2ADB，ABD+ADB90，ADB30，ABD60，ABEEBOOBF30，EBF60（2）结论：IHFH理由：如图2中，延长BE到M，使得EMEJ，连接MJ四边形EBFD是菱形，B60，EBBFED，DEBF，JDHFGH，在DHJ和GHF中， ，DHJGHF，DJFG，JHHF，EJBGEMBI，BEIMBF，MEJB60，MEJ是等边三角形，MJEMNI，MB60在BIF和MJI中，BIFMJI，IJIF，BFIMIJ，HJHF，IHJF，BFI+BIF120，MIJ+BIF120，JIF60，JIF是等边三角形，在RtIHF中，IHF90，IFH60，FIH30，IHFH（3）结论：EG2AG2+CE2理由：如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，FAD+DEF90，AFED四点共圆，EDFDAE45，ADC90，ADF+EDC45，ADFCDM，CDM+CDE45EDG，在DEM和DEG中， ，DEGDEM，GEEM，DCMDAGACD45，AGCM，ECM90EC2+CM2EM2，EGEM，AGCM，GE2AG2+CE2【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.7如图1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得AEEG；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EMDNAC，计算可得结论【详解】证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，CEHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAGE，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形，EMDNAC，ACAB5，EM【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键8如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，如图2，连接AG，DE，求证：AG=DE，AGDE；（3）在（2）的条件下，正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为（0180），若AON是等腰三角形，请直接写出的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的值是22.5或45或112.5或135或157.5【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形的中位线的性质得到CDGE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长ED交AG于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，AOD=COD=90，由四边形OEFG是正方形，得到OG=OE，EOG=90，由旋转的性质得到GOD=EOC，求得AOG=COE，根据全等三角形的性质得到AG=DE，AGO=DEO，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：四边形OEFG是正方形，ME=GE，OG=2OD、OE=2OC，CDGE，CD=GE，CD=GE，四边形CDME是平行四边形；（2）证明：如图2，延长ED交AG于H，四边形ABCD是正方形，AO=OD，AOD=COD=90，四边形OEFG是正方形，OG=OE，EOG=90，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，GOD=EOC，AOG=COE，在AGO与ODE中，AGOODEAG=DE，AGO=DEO，1=2，GHD=GOE=90，AGDE；（3）正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO-ADO=22.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90-45=45；正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO+90=112.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90+45=135，、当AN=AO时，旋转角a=ANO+90=67.5+90=157.5，综上所述：若AON是等腰三角形时，的值是22.5或45或112.5或135或157.5【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当AON是等腰三角形时，求的度数是本题的难点9如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EFCE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H（1）如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=； （2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围【答案】（1）， ，5， ；（2）EBG是直角三角形，理由详见解析；（3） ；（4）S=x2x+48（0x）【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明DCEBCG，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）如图2中，在RtBAD中，BD=10，SBCD=CDBC=BDCE，CE=CG=BE=如图3中，过点E作MNAM交AB于N，交CD于MDE=BE，CE=BD=5，CMEENF，CG=EF=，（2）结论：EBG是直角三角形理由：如图1中，连接BH在RtBCF中，FH=CH，BH=FH=CH，四边形EFGC是矩形，EH=HG=HF=HC，BH=EH=HG，EBG是直角三角形（3）F如图1中，HE=HC=HG=HB=HF，C、E、F、B、G五点共圆，EF=CG，CBG=EBF，CDAB，EBF=CDE，CBG=CDE，DCB=ECG=90，DCE=BCG，DCEBCG，（4）由（3）可知：，矩形CEFG矩形ABCD，CE2=（-x）2+）2，S矩形ABCD=48，S矩形CEFG= （-x）2+（）2.矩形CEFG的面积S=x2-x+48（0x）【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题10如图1，若分别以ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形（1）发现：如图2，当C=90时，求证：ABC与DCF的面积相等（2）引申：如果C90时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形已知ABC中，AC=3，BC=4当C=_时，图中阴影部分的面积和有最大值是_【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，ACB=DCF=90，BC=FC，所以ABCDFC，从而ABC与DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点Q得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP=DCQ所以APCDQC于是AP=DQ又因为SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，所以SABC=SDFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大所以S阴影部分面积和=3SABC=334=18（1）证明：在ABC与DFC中，ABCDFCABC与DFC的面积相等；（2）解：成立理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点QAPC=DQC=90四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ，APCDQC（AAS），AP=DQ又SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，SABC=SDFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大S阴影部分面积和=3SABC=334=18考点：四边形综合题11如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m1，将它沿EF折叠(点E.F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0n1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出ADENDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在RtAED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出PDMGAM，EMPEMG由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，通过证明ABMKFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90AB=mAD，且n=2，AB=2ADADE+EDF=90，EDF+NDF=90，ADE=NDF在ADE和NDF中，AN，ADND，ADENDF，ADENDF（ASA）.AE=NF，DE=DFFN=FC，AE=FCAB=CD，AB-AE=CD-CF. BE=DF. BE=DERtAED中，由勾股定理，得，即，AE=AD.BE=2AD-AD=.（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，GAM=90M为AD的中点，AM=DM四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90，ABCD.GAM=PDM在GAM和PDM中，GAMPDM，AMDM，AMGDMP，GAMPDM（ASA）.MG=MP.在EMP和EMG中，PMGM，PMEGME，MEME，EMPEMG（SAS）.EG=EP.AG+AE=EP.PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，EM=EB，MEF=BEF，EFMB，即FQO=90.四边形FKBC是矩形，KF=BC，FC=KB.FKB=90，KBO+KOB=90.QOF+QFO=90，QOF=KOB，KBO=OFQ.A=EKF=90，ABMKFE.即.AB=2AD=2BC，BK=CF，.的值不变考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质12已知：在矩形ABCD中，AB10，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE2（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10；（2）12a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GMBC于M在正方形EFGH中，HEF90，EHEF，AEHBEF90AEHAHE90，AHEBEF又AB90，AHEBEF同理可证MFGBEFGMBFAE2FCBCBF10（2）过点G作GMBC交BC的延长线于M，连接HFADBC，AHFMFHEHFG，EHFGFHAHEMFG又AGMF90，EHGF，AHEMFGGMAE2（3）GFC的面积不能等于2说明一：若SGFC2，则12a2，a10此时，在BEF中，在AHE中，AHAD，即点H已经不在边AD上，故不可能有SGFC2说明二：GFC的面积不能等于2点H在AD上，菱形边EH的最大值为，BF的最大值为又函数SGFC12a的值随着a的增大而减小，SGFC的最小值为又，GFC的面积不能等于213已知，以为边在外作等腰，其中.（1）如图，若，求的度数.（2）如图，.若，的长为_.若改变的大小，但，的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120；（2）2；2【解析】试题分析：（1）根据SAS，可首先证明AECABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出BFC的度数；（2）如图2，在ABC外作等边BAE，连接CE，利用旋转法证明EACBAD，可证EBC=90，EC=BD=6，因为BC=4，在RtBCE中，由勾股定理求BE即可；过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明EACBAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论试题解析：解：（1）AE=AB，AD=AC，EAB=DAC=60，EAC=EAB+BAC，DAB=DAC+BAC，EAC=DAB，在AEC和ABD中AECABD（SAS），AEC=ABD，BFC=BEF+EBF=AEB+ABE，BFC=AEB+ABE=120，故答案为120；（2）如图2，以AB为边在ABC外作正三角形ABE，连接CE由（1）可知EACBADEC=BDEC=BD=6，BAE=60，ABC=30，EBC=90在RTEBC中，EC=6，BC=4，EB=2AB=BE=2若改变，的大小，但+=90，ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AHBC交BC于H，过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC并取BE的中点K，连接AKAHBC于H，AHC=90BEAH，EBC=90EBC=90，BE=2AH，EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2K为BE的中点，BE=2AH，BK=AHBKAH，四边形AKBH为平行四边形又EBC=90，四边形AKBH为矩形ABE=ACD，AKB=90AK是BE的垂直平分线AB=AEAB=AE，AC=AD，ABE=ACD，EAB=DAC，EAB+EAD=DAC+EAD，即EAC=BAD，在EAC与BAD中EACBADEC=BD=6在RTBCE中，BE=2，AH=BE=，SABC=BCAH=2考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质14已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而