目标规划新版.doc

第三章 目标规划
第一节 目标规划的数学模型
目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。
为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。

一、举例
例 1 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。
生产有关数据表

Ⅰ
Ⅱ
拥有量
原材料 （公斤）
2
1
11
设备台时（小时）
利润 （元/件）
1
8
2
10
10
用线性规划方法求解：
设Ⅰ、Ⅱ两种产品产量分别为x1，x2

可得 Z=62元，X=（4，3）T
但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：
据市场信息，产品Ⅰ销售量下降，要求产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；
尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；
达到并超过计划利润指标56元。
这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。

二、目标规划基本概念
1. 设x1，x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d—
正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d—表示决策值未达到目标值的部分，d+，d－≥0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d+×d－＝0。
2.绝对约束和目标约束
绝对约束指必须严格满足的“≤，≥，＝” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d+、d－”表示，称为软约束。
约束的一般形式为：

式中——第个目标约束的目标值；
——目标约束中决策变量的参数；
——以目标值为标准而设置的偏差变量。
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。
例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x1 + 10x2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x1 + 10x2 =56 + d+－d－ ；而同样，线性规划问题的绝对约束：2x1 + x2 ≤11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x1 + x2 = 11－d－ 。
建立约束需注意的问题时：
（1）对于绝对约束，则为资源限制值，上式中不加。
（2）非负约束是指偏差变量非负，，至于决策变量是否要求非负，依具体问题要求决定。
（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。
（4）如果有明显的目标要求，可在中只选一个。
3.优先级与权系数
要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次之分的。要求首先达到的目标赋予优先级P1，稍次者赋予P2 ，…。这里规定：不同级目标重要性差异悬殊，Pk ＞＞ Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数wj 。
4.目标函数
目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d+、d－，优先级Pk与权系数wj所构成的。与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量xj 。当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。因此，目标规划问题的目标函数只能是：
Min Z = f (d+，d－)。其基本形式有下列三种：
要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数的形式：
min Z = f (d+ + d－)
要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：
min Z = f (d+ )
要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：
min Z = f ( d－)
由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看作是绝对的。决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函数。下面举例说明。
例2 某构件公司商品混凝土车间生产能力为20t/h，每天工作8h，现有2个施工现场分别需要商品混凝土A为150t，商品混凝土B为100t，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：
原材料消耗、拥有量R单位利润表

A
B
拥有资源量
水泥/t
0.35
0.25
50t
砂/t
0.55
0.65
130t
单位利润/元
100
80

（1）充分利用生产能力；
（2）加班不超过2h；
（3）产量尽量满足两工地需求；
（4）力争实现利润2万元/天
试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。
解：
1.确定变量
设分别为两种混凝土的产量。
2.约束条件
（1）目标约束：
级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。
其中要求
级：要求可以加班，但每日不超过2h，即日产量不超过200t。
其中要求
级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。
其中要求
其中要求
因需求量不能超过其需求，故=0
级：目标利润超过2万元。
其中要求
（2）资源约束
水泥需求不超过现有资源：

砂需求不超过现有资源：

（3）非负约束

3.目标函数
依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即100:80，故W1=5，W2=4。故目标函数为

整理得该问题的目标规划模型为：
目标：
约束条件：

例 3 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达到并超过计划利润指标56元，求决策方案。
解 按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级P1，P2，P3。然后建立目标规划模型如下：
min z = P1d1+ + P2(d2++d2－) + P3d3－
2x1 + x2 ≤ 11
x1－x2 + d1－－ d1+ = 0
x1 +2x2 + d2－－ d2+ = 10
8x1 +10x2 + d3－－d3+ = 56
x1，x2，di－，di+ ≥ 0， i = 1，2，3

目标规划数学模型的一般形式：

建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化。

第二节 目标规划的图解法
对于只有两个决策变量的目标规划数学模型，可采用图解法分析求解，这对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。下面用例2加以说明。
类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件。绝对约束的作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出di+，di－= 0对应的直线，然后在直线旁相应侧标注di+，di－，如图3-1所示。根据目标函数中的优先级对下图进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称目标规划问题的最优解为满意解）。

x2
B
11
d1－ ①
d1+
d2－
d2+
②
A
0 5.5 7 d3+ 10 x1
F
E
d3－
③
D
C
G

图3-1例2的目标规划的图解
由图可见，首先考虑绝对约束：2x1 + x2 ≤11，解的可行域为三角形 0AB，然后按优先级P1，目标函数中要求min d1+，解域缩减至0BC内；再按优先级P2，目标函数中要求min (d2++d2－)，解域缩减至线段ED上；最后按优先级P3，目标函数中要求min d3－，因此最终满意解域为线段GD。可求得相应坐标：G（2，4），D（10/3，10/3）。GD的凸线性组合都是该目标规 划的解。目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋P1）例中能依次满足d1+=0，d2++d2－=0 d3－=0，因此z*=0。但大多数情况下并非如此，还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明。
例 3 某电子设备厂装配A、B两种型号同类产品，每装配一台需占用装配线1小时。每周装配线开动40小时，预计每周销售：A产品24台，每台可获利80元；B产品30台，
每台可获利40元。该厂确定的目标为：
第一目标：充分利用装配线每周开动40小时；
第二目标：允许装配线加班但加班时间每周不超过10小时；
第三目标：装配数量尽量满足市场需求。
要求建立上述问题的数学模型并求解。
解 设x1，x2分别为产品A、B的计划产量。对于第三目标，由于每台A产品利润是B产品的2倍，因此取其权系数分别为2，1。
建立目标规划模型：
min z = P1d1－+ P2d2+ + P3(2d3－+d4－)
x1 + x2 + d1－－ d1+ = 40
x1+ x2 + d2－ － d2+ = 50
x1 + d3－ － d3+ = 24
x2 + d4－－ d4+ = 30
x1，x2，di－，di+ ≥ 0， i = 1，2，3，4
E
d2+
d1+
D
B
G
F
H
③
x2
d3－
d3+
d4+
d4-
d1-
d2-
0 24 ①A ②C x1

图3-2 例3的目标规划的图解
由图3-2可见，在考虑了第一目标和第二目标之后，x1和x2的取值范围为ABCD。考虑P3的目标要求时，由于d3－的权系数大于d4－，应先满足d3－= 0，因此这时x1和x2的取值范围是ACEH，而其中只有H点使d4－取值最小，故取H点为满意解。其坐标为（24，26），即该厂每周应装配A产品24台，B产品26台。（可与G端点的结果比较一下利润上的差别。）
对于多于两个变量的情况，类似于线性规划，可用单纯型法求解。