高中物理竞赛(静力学)(1).doc

第一讲：力、物体的平衡
补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力
1.重力、重心
重心的定义：，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
问题：半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内切圆板，如图a所示，求剩下部分的重心。

2.弹力、弹簧的弹力（F=kx,或F=-kx）
（1）两弹簧串联总伸长x，F=？
由x1+x2=x,k1x1=k2x2，得,所以.
（2）并联时F=(k1+k2)x.
(3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段，每段劲度系数k¢=?(10k)
1. 一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一个劲度系数为k，自然长度为L（L<2R）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:
. （答案：）
3.摩擦力
（1）摩擦力的方向：
静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。
‚滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。
2. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G,现用与斜面底边平行的水平作用力F(F=G/2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：）

（2）摩擦角:f和N的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f达到最大）叫摩擦角，摩擦角j=tan-1f/N=tan-1m。摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，j是一定的。
水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为m,则为使拉力F最小,F与水平地面间的夹角多大?F的最小值为多少?

二、物体的平衡
1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力
(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
确定墙壁或天花板对杆的弹力方向？
‚若墙壁与杆间动摩擦因数为m，物体只能挂在什么范围？
3. 如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为a.则容器面对杆A点的作用力F为多大?

2.力矩和力矩平衡:M=FL
(1)力矩的平衡条件:对任意点
也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用?
对球心,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用
这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。
又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若m相同，对球心有得板对球的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。

4. 将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：
(1)绳子的张力.
(2)斜面对球的摩擦力和弹力.

5. 一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A点的距离应为多少? （答案：0.1m）

6. 两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是MA=2MB,a=450,求q.

(2)二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。
7. 如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为mA=0.2，mB=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

8. 如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90°，且C端正好在A端的正下方。
（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。
（2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。

3.物体的平衡条件：F=0；M=0
9. 质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为a,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力.

10. 如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为m.则当斜面倾角a大于 时,无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动

12.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为q(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力.

13.一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为m1、m2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

部分参考答案
（答案：）
解：F的作用线通过圆心
B点对杆的作用力N与相垂直
角度关系如图所示
根据正弦定理
得

解：若B端开始滑动，AC为二力杆，地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30°，
而A点对应的摩擦角aA=tan-1mA=tan-10.2<30°。AC杆不能衡。
若A端开始滑动，AB为二力杆，地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30°，而B点对应的摩擦角aB=tan-1mB=tan-10.6>30°。AB杆能衡。
所以人必须从A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。
对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过FA和FB的交点。
设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：scotaA=(L-s)cot30°，
得s=0.26L,最大高度H=s=0.45L。
[答案：（1）F的方向与AC夹角范围18°.24¢-45°间；（2）]
解（1）设F的方向与AC夹角为q，如果当m1质量很小时，AB对BC的作用力沿AB方向，则F的方向必交于AB的中点，q=45°-tan-1=18°.24¢；
如果当m2质量很小时，则F的方向沿BC方向，q=45°。
所以F方向的范围是q=18°.24¢-45°间。
（2）以A为转轴，对两棒有：----
以B为转轴，对BC有：----‚
sin(45°-q)=sin45°cosq-cso45°sinq----ƒ
有‚ƒ式得F的大小：；
F的方向与竖直线的夹角q=.
可见，m1=0时，q=18°.24¢；m2=0时，q=45°.

（答案：）

无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动，这种情况称为自锁。
如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为m.推力F与水平面之间的夹角为a，则当a大于时，无论水平推力F多大,物体不可能运动。
有Fcosa=(mg+Fsina)m，得,推不动：cosa-msina=0,cota=m.
或Fcosa（增加的动力）£Fsinam（增加的阻力），得cota£m.
解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcotq.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).
对A点,有力矩平衡
式中
有上述四式可行.

（答案：）
解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为a，
则有f1=m1N1, f2=m2N2（同时达到最大，与上题有区别）
水平方向：m1N1=N2，竖直方向：m2N2+N1=G，
得：G=m2N2+N2/m1------
取A点为转轴：-----‚
解得，即。
解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）
则有：tanj1=m1,tanj2=m2，
有几何关系：，
可解得：。
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