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分式知识点总结和题型归纳
（一）分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义:
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。【例1】下列代数式中：，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件
分式有意义：分母不为0（） 分式无意义：分母为0（）
【例1】当有何值时，下列分式有意义
（1） （2） （3） （4） （5）
（2） 使分式 ÷有意义的x应满足 .
（3） 若分式无意义，则x= .
题型三：考查分式的值为0的条件
分式值为0：分子为0且分母不为0（）
【例1】当取何值时，下列分式的值为0.
（1） （2） （3）
【例2】当为何值时，下列分式的值为零：
（1） （2）
题型四：考查分式的值为正、负的条件
分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
（1）当为何值时，分式为正； （2）当为何值时，分式为负；

（2） 当为何值时，分式为非负数.
题型五：考查分式的值为1，-1的条件
分式值为1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
【例1】若的值为1，-1，则x的取值分别为
（二） 分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 分式的值 用式子表示:
(其中M为 的整式)
2．分式的变号法则：
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1） （2）

题型二：分数的系数变号
【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1 （2） （3）
题型三：化简求值题
【例1】已知：，求的值

【例2】已知：，求的值.

【例3】若，求的值.

【例4】已知：，求的值.

【例5】若，求的值.

1、 已知求代数式的值

（三）分式的运算
① 分式的乘除法法则：
乘法分式式子表示为： 除法分式式子表示为：
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
③ 分式的加减法则： 异分母分式加减法：式子表示为：
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
题型一：通分
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
【例1】将下列各式分别通分.
（1） ； （2）；

（3） ； （4）

题型二：约分
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
【例2】约分：
（1） ； （2）； （3）.
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （7）

题型四：化简求值题【例4】先化简后求值
（1）已知：，求分子的值；

（2）已知：，求的值；

（3）已知：，试求的值.

题型五：求待定字母的值
【例5】若，试求的值.

第二部分 分式方程
分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
（1） ； （2）； （3）； （4）

题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程；提示：换元法，设；

题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.

【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.

题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程
题型五：列分式方程解应用题
1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？

2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
（1） 求该种纪念4月份的销售价格？
（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？

4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a（m）的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg
（1）哪种小麦的单位面积产量高?
(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法 例1．解方程：

二、化归法 例2．解方程：

三、左边通分法 例3：解方程：