椭圆、双曲线抛物线典型例题整理.doc

椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
解：（1）当为长轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；
（2）当为短轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，
由，得，
∴，，

，∴，
∴为所求．
五、求椭圆的离心率问题。
例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解： ∴，∴．
例2 已知椭圆的离心率，求的值．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
∴满足条件的或．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)

2．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．
4a＝4.

3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．
△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.

七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得． ⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
八、椭圆中的最值问题
例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．

双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3），，时，所给方程没有轨迹．
二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点
解：（1）设双曲线方程为
∵ 、两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线方程为
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中）
∵双曲线经过点（－5，2），∴
∴或（舍去）
∴所求双曲线方程是
说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为：
∵双曲线过点，∴
∴或（舍）
∴所求双曲线方程为
三、求与双曲线有关的角度问题。
例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．
解：∵点在双曲线的左支上
∴
∴
∴
∵
∴
（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．
解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．
∴,
∵
∴在中，
∵
∴
∴
∴
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5　已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵，
∴
∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．
例　是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．
解：在双曲线中，，，故．
由是双曲线上一点，得．
∴或．
又，得．
六、求与圆有关的双曲线方程。

例6　求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
解：设动圆的半径为
（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：
，，
∴双曲线方程为
（2）∵⊙与⊙、⊙都外切
∴，，

∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：
，，
∴所求的双曲线的方程为：

（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：
，，
∴所求双曲线方程为：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1） （2）
解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
（2）原抛物线方程为：，
①当时，，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是：．
②当时，，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是：．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．

二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
解法一：设、，则由：可得：．
∵直线与抛物线相交，且，则．
∵AB中点横坐标为：，
解得：或（舍去）．
故所求直线方程为：．
解法二：设、，则有．
两式作差解：，即．
，
故或（舍去）．
则所求直线方程为：．

三、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
解：（1）由得：
设直线与抛物线交于与两点．则有：
，即
（2），底边长为，∴三角形高
∵点P在x轴上，∴设P点坐标是
则点P到直线的距离就等于h，即
或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、与抛物线有关的最值问题
例4　定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则

．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故
，
，．
所以，此时到轴的距离的最小值为．

例　已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．
解：如图，

由定义知，故．
取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以点坐标为．

椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。
例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。

2．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．

3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

八、椭圆中的最值问题
例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点

三、求与双曲线有关的角度问题。
例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．

题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．

五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5　已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

例　是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．

六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。

例6　求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1） （2）
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．

二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

三、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．

四、与抛物线有关的最值问题
例4　定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．

例　已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．

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