椭圆、双曲线抛物线典型例题整理.doc

椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1PF22F1F2224，得2a4.又c1，所以b23.所以椭圆的标准方程是1. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且2a10，求椭圆的标准方程解：由椭圆定义知c1，b.椭圆的标准方程为1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知1，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得，为所求五、求椭圆的离心率问题。例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，例2 已知椭圆的离心率，求的值 解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得当椭圆的焦点在轴上时，得由，得，即满足条件的或 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故顶点C的轨迹方程为1.又A、B、C三点构成三角形，所以y0.所以顶点C的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)2已知椭圆的标准方程是1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求ABF2的周长4a4.3设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1PF221，求PF1F2的面积PF1F2的面积为PF1PF2244.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得 将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为八、椭圆中的最值问题例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标解：由已知：，所以，右准线过作，垂足为，交椭圆于，故显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上故所以双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征解：（1）当时，所给方程表示椭圆，此时，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）（2）当时，所给方程表示双曲线，此时，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）（3），时，所给方程没有轨迹二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为三、求与双曲线有关的角度问题。例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小解：点在双曲线的左支上（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积解：为双曲线上的一个点且、为焦点,在中，五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线，所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线例是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值解：在双曲线中，故由是双曲线上一点，得或又，得六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切解：设动圆的半径为（1）与内切，点在外，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，双曲线方程为（2）与、都外切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：，所求的双曲线的方程为：（3）与外切，且与内切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，所求双曲线方程为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）解：（1），焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，当时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是：当时，抛物线开口向左，焦点坐标是，准线方程是：综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程解法一：设、，则由：可得：直线与抛物线相交，且，则AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）故所求直线方程为：解法二：设、，则有两式作差解：，即，故或（舍去）则所求直线方程为：三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点则有： ，即（2），底边长为，三角形高点P在x轴上，设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（1，0）或（5，0）四、与抛物线有关的最值问题例4定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为例已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_解：如图，由定义知，故取等号时，、三点共线，点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。2已知椭圆的标准方程是1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求ABF2的周长3设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1PF221，求PF1F2的面积七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程八、椭圆中的最值问题例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点三、求与双曲线有关的角度问题。例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹例是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标四、与抛物线有关的最值问题例4定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标 例已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_13