1、1.了解生活中的优化问题实例.2.会利用导数解决某些实际问题.1.生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值.3.解决优化问题的基本思路:【做一做1】设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为()答案:C【做一做2】把长60 cm的铁丝围成矩形,当长为 cm,宽为cm时,矩形面积最大.解析:设长为x cm,则宽为(30-x)cm,所以面积S=x(30-x)=-x2+30 x.由S=-2x+30=0,得x=15,30-x=15.答案:15151.求解应用问题的方法剖析解决实际应用问题
2、的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言.要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.对于这类问题,我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.运算不过关,就得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路.在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有利于问题解决的新的途径和方法,并从中进行一番选择.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤剖析(1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大
3、值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).(2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.(3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.(4)下结论,紧扣题目,给出圆满的答案.题型一题型二题型三题型四【例1】用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接起来(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?分析设出容器的高,进而求出容器的长和宽,表示出容积V,然后利用导数求最值.题型一题型二题型三题型四解:设容器的高为x cm(0 x24),容器的容积为V(x)cm3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320 x.求V(x)的导数,得V(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0 x0,V(x)为增函数;当10 x24时,V(x)0);固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四
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