专题06-中考图形轴对称问题-中考数学专题拓展提高讲练(学生版).docx

1.考点解析
轴对称是历年中考重点考查的内容之一。轴对称图形的识别历来以选择题的形式出现，属于容易题。轴对称性质的应用，常以选择题，填空题的性质出现，多数属于容易题，也有中等难度的题目。作图题和图案设计题，以解答题的形式出现，属于容易或中等难度的题目。
2.考点分类：考点分类见下表
考点分类
考点内容
考点解析与常见题型
常考热点
轴对称的识别与画图
选择题以及解答题作图题
一般考点
轴对称性质的应用，一次函数的应用
常以选择题，填空题的性质出现，多数属于容易题，也有中等难度的题目
冷门考点
二次函数与圆
二次函数综合题解答题

1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.角平分线上的点到角两边距离相等。
4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y)
9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
10.等腰三角形的判定：等角对等边。
11.等边三角形的三个内角相等，等于60°。
12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。

一、中考题型解析与解题策略
1、轴对称 （1）折叠问题是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等，对称轴是一条直线不是线段或者射线；（2）抓住图形的变化中的不变性 从动的角度去思考，明确动中不动，对应线段相等，对应角相等，形状大小不变（3）对称引起的坐标变化依据关于X轴，Y轴，原点对称的坐标变化规律
2、判定等腰三角形的方法 （1）运用定义从边的角度去判断，运用判定定理从角的角度判断（2）等腰三角形中常用辅助线 ①作底边上的高②作底边上的中线③做顶角的平分线
3、活用等边三角形的性质 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等
4、线段垂直平分线的应用特征①两组线段相等 ②当出现垂直平分字眼或者题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质
二、典例精析
★考点一：轴对称线路最短问题
◆典例一：如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

【考点】轴对称的性质，两点间直线最短。
【解析】作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中DB=1，BC=2，
根据勾股定理可得，DC'=
【总结】找准动点与固定点，然后作点的对称，再连接对应点，分析线段之和最短。

◆典例二：如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值

【考点】轴对称的性质解决线段和最小问题，勾股定理。
【解析】因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3
在直角△BHE中，BE = = = 2

◆典例三：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

【考点】轴对称的性质
【解析】作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M
则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小
如右图，在直角△AB'E中，
AE = AC+CE = 10+30 = 40
EB' = 30
所以：AB' = 50
总费用为：50×3 = 150万

★考点二：轴对称与圆的问题
◆典例一：已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

【考点】作对称求线段和最小值问题，圆的性质。
【解析】在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，
OA' = OB = 4
根据勾股定理，A'B = 4。
【总结】在圆的图形当中，充分运用圆既是轴对称又是中心对称图形，圆的对称性以及圆周角定理圆心角定理都要充分的运用。

◆典例二：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为

【考点】 轴对称的性质，等腰直角三角形的特征定理。
【解析】在MN上求一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，
则点P就是所要作的点
A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形
所以 A'B =

★考点三：轴对称与函数问题
◆典例一：在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

【考点】轴对称性质，一次函数解析式，两点间距离最短。
【解析】因为点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，
连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则 -2=-k+b
2=4k+b
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5)
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小

◆典例二：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）

【考点】旋转的性质，弧长的计算。
【解析】(1)根据A点坐标，可得到OA、OB的长，过B作BD⊥x轴于D，由于∠OBD=60°，通过解直角三角形，即可求得B点的坐标；(2)根据A、O、B三点坐标，即可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；(3)由于A、O关于抛物线的对称轴对称，若连接BA，那么直线BA与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出C点的坐标
【解答】（1）过B作BD⊥x轴于D
因为A（-2,0），所以OA=OB=2，在RT△OBD中，∠OBD=60°
所以OD=1，BD=
所以B（1，）
（2）设抛物线的解析式为y=a(x－0)(x+2)，
代入点B(1， )，得a=，
因此；
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=－1，
∵A、O两点关于直线x=－1对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小，即△BOC的周长线段AB的长.
设直线AB为y=kx+b，代入点坐标可得y=x+
当x=-1时，y = 所以C(-1，)

1. 如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

2. 已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

3. 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

4. 如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．

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