实际问题与一元一次方程(一)(提高).doc

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实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】　　
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .
　　　　　　　解得：x=10.
答：油箱里原有汽油10公斤.
【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三：
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?
【答案】
解：设这个班有x名学生，根据题意得：
3x+24＝4x-26
解得：x＝50.
所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.
答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．
类型二、行程问题
1.车过桥问题
2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
【答案与解析】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
，
解得：x＝300，
所以．
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
举一反三：
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：
，
解得x＝3
答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．
2.相遇问题（相向问题）
3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.
【答案与解析】
解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：

解得：108．
答：A、B两地间的路程为108千米.
【总结升华】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.
【答案】
解：设A、B两站间的距离为x km，由题意得：
解得：x=122
答： A、B两站间的距离为122km.
3.追及问题（同向问题）
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
【答案与解析】
解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得：

解得：x=24
答：卡车的速度为24千米/时．
【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．
【答案与解析】
解：设A、B两地间的距离为x千米．
(1)当C地在A、B两地之间时，依题意得：
．
解这个方程得：x＝20．
(2)当C地在A地上游时，依题意得：
．
解这个方程得：．
答：A、B两地间的距离为20千米或千米．
【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．

5.环形问题
6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.
【答案与解析】
解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时， 由题意得:
x×-x×=20
　解得：x=10
答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.
【总结升华】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.
举一反三：
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

【答案】
解：设乙追上甲用了x分钟，则有：
72x-65x＝3×90．
．
(m) ．
答：乙第一次追上甲时走了2777 m，此时乙在AD边上．
类型三、工程问题
7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解：设再过x小时可把水注满．由题意得：
．
解得：．
答：打开丙管后小时可把水放满．
【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
举一反三：
【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．
【答案】
解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得：

解得：．
答：这块水稻田的面积为36亩．
类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）
8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?
【答案与解析】
解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：
5x＝3(120-x) ．
解得x＝45．
120-45＝75(人)．
答：应安排45人挖土，75人运土．
【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】
【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？
【答案】
解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：
28x+20(100-x)=25×100．
解得：x=62.5.
当x=62.5时，100-x=37.5（千克）.
答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.

【巩固练习】
一、选择题
1.（甘肃兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/小时，水流速度是10千米/小时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是（ ）.
A．40千米 B．50千米 C．60千米 D．140千米
3.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是 （ ）．
A．60秒 B．30秒 C．40秒 D．50秒
4. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m＋10＝43m－1； ②； ③； ④40m＋10＝43m＋1，其中正确的是（ ）．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
5．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰比乙组人数的一半多2个，设乙组原有x人，则可列方程( )．
A． B．
C. D．
6．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)，超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是( ) ．
A．11　 B．8　 C．7　 D．5
二、填空题
7．(江苏淮安)小明根据方程5x+2＝6x-8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整：某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________ ________．请问手工小组有几人?(设手工小组有x人)．
8．9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是__________．
9. 轮船在静水中速度为每小时20km,水流速度为每小时4km,从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头,共用5小时(不计停留时间),求甲、乙两码头的距离.若设两码头间的距离为x km,可列方程 ．
10．王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位．王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元．
11．某市开展“保护母亲河”植树造林活动，该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80%，300亩良田视为已绿化，河坡地植树面积已达20%，目前金桥村所有土地的绿化率为60%，则河坡地有________亩．
12.（重庆市潼南）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a = 度.
三、解答题
13. 某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成，若把工效提高25%，到期将超额完成50个，问此工人原计划生产零件多少个?预定期限是多少天?
14. 在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
15. 已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从A、C两处同时相向出发（如图），则：
（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置.
（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？
（3）他们第100次相遇时，在哪一段跑道上？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A.
【解析】每名学生送出张相片，则名学生共送出张相片.
2．【答案】A.
【解析】顺流速度为：千米/时，逆流速度为：千米/时.
3．【答案】D.
【解析】秒.
4．【答案】D.
【解析】根据m,n的值不变，分别列方程即可.
5．【答案】D.
6．【答案】B.
【解析】等量关系：（经过的路程-3）×2.4+起步价7元=19．
二、填空题
7．【答案】若每人做6个，就比原计划多8个．
8．【答案】12.
【解析】根据9人14天完成了一件工作的，可知每人每天完成一件工作的
设需要增加的人数为x人，根据题意得：， 解得x=12．
9．【答案】.
10.【答案】171.
【解析】设支出款为x元，则错看成元，列方程得．
11．【答案】800.
【解析】设河坡地有x亩，根据题意，得：
1000×80%+300+20%·x＝(1000+300+x)·60%，
解得x＝800．
12.【答案】40.
【解析】当时，，不合题意；
当时，.

三、解答题
13．【解析】
解法1：设原计划生产零件x个，则有方程：．
解得：
（天）
答：此工人原计划生产零件700个，预定期限是30天．
解法2：设预定期限为x天，则有方程：20x·25%＝100+50，解得：x=30，30×20+100=700．
答：此工人原计划生产零件700个，预定期限是30天．
14. 【解析】
解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则：
解得：

答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾．
15.【解析】
解：（1）设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程 ．
解得 ．
甲跑的路程=米，
答：10秒后两人首次相遇，此时他们在直道AB上，且离B点10米的位置.
（2）设y秒后两人再次相遇， 依题意得到方程 ．
解得： ．
答：20秒后两人再次相遇．
（3）第1次相遇，总用时10秒，
第2次相遇，总用时10+20×1，即30秒
第3次相遇，总用时10+20×2，即50秒
第100次相遇，总用时10+20×99，即1990秒
则此时甲跑的圈数为1990×4÷200=39.8
200×0.8=160米，此时甲在AD弯道上.
此题解法较多，提供另解：
甲乙速度比为2∶3，所以甲的路程是两人总和的
第1次相遇，甲跑的路程为，
第2次相遇，甲跑的路程为，
第3次相遇，甲跑的路程为，
第100次相遇，甲跑的路程为，
因为7960÷200的余数为160
此时甲在AD弯道上.

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