高等数学2期末复习题与答案.doc

《高等数学》2期末复习题
一、填空题：
1. 函数的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 .
2.设则 .
3.函数在点的全微分
4．设则 .
设则 .
5.设 而 则
6．函数 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，）的方向导数是
7.改换积分次序 ； .
8．若L是抛物线 上从点A到点B的一段弧，则=
9.微分方程的通解为 .
二、选择题：
1． 等于 （ ）（上下求导）
A．2， B. C.0 D.不存在
2．函数 的定义域是（ D ）
A． B.
C. D．
3. （ B ）
A. B.
C. D.
5.设，且F具有导数，则（D ）
A.； B.；
C. ； D. .
6．曲线 ，，，在 处的切向量是 （ D ）
A． B. C. D.
7．对于函数 ，原点 （ A ）
A．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点
8．设I=， 其中D是圆环所确定的闭区域，则必有（ ）
A．I大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符号不能确定。
9. 已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分 ，则a等于 （ ）.
A -1 B 1 C 2 D -2
10．若L为连接及两点的直线段，则曲线积分=（ ）
A．0 B.1 C. D.2
11.设D为则（ ）
A.； B. ；
C. ； D. .
12. 微分方程的通解为（ ）
A.； B.；C.；D.
13.（ ）是微分方程在初始条件下的特解.
A.；B.；C.；D..
三、计算题：
1.设，求 及，其中f 具有一阶连续偏导数.

2． 设， 求 ，

3． 求旋转抛物面 在点处的切平面及法线方程。

4． 求函数的极值

5． 计算，其中D是由圆周 及轴所围成的右
半闭区域.

6． 计算，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）为顶点的三角
形闭区域.

7.计算 ，其中是三个坐标面与平面 所围成的区域.

8.计算 ，其中L为圆 的正向边界。

9.计算曲线积分 其中L是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0).

10.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.

11.求微分方程 的通解.

12.求解微分方程的特解：

13.解微分方程

.
四、应用题：
1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.

2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.
3.求抛物线所围成的闭区域的面积.

4.求抛物面与锥面所围成的立体的体积.

高等数学2期末复习题答案
一、填空题：
1、 2、 3、
4、 5、
6、 （注：方向导数）
7、；
8、 （注：） 9、
二、选择题：
1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C;
11. C; 12.C; 13.D
三、计算题：
1.解：令，则

2. 解：两方程分别两边对求偏导数，注意是关于的二元函数，得
即
这是以为未知量的二元线性方程组。
当 时，有
，
3. 解：旋转抛物面 在点处的切向量

于是，所求切平面方程为 ，即
法线方程为
4. 解：解方程组，
得四个驻点.又
.
对且,则是函数的极小值点；
对,则不是极值点；
对,则不是极值点；
对,且,则是函数的极大值点.
于是，函数有极小值，
极大值 .
5. 解：利用极坐标变换，令，则，且D可表示为：.于是

.
6. 解：三角形区域D由直线及轴围成，选择先对积分，
.
（注：此题也可以参看课本167页例2的解法）

7.解题过程见课本124页例1.

8. 解：在L围成的圆域D:上全在连续的偏导数，，从而 .于是由格林公式，得
.
9. 解：，有 在整个平面上恒成立，所以曲线积分与路径无关，故可取轴上线段OA作为积分路径.
OA的方程为，且从0变到2，，从而
.
10. 解：，有
，，
即有在整个平面上恒成立，因此在整个面内，是某个函数的全微分.
取ARB为积分路径，其中各点坐标分别为，得

.
11. 解法一：方程可改写为 ，这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解.
由，分离变量，得，两边积分，解得 .
用常数变易法，将换成.即，.
代入原方程，化简得 .故 .
于是方程的通解为 .
解法二：方程可改写为 .
这是一阶非齐次线性微分方程，其中.利用通解公式

.

12. 课本212页第8题第（1）小题。
解：原方程可写成 .令，即 ，有 ，则原方程成为 ，分离变量，得 .两边积分，得.
代入并整理，得通解 .
由初始条件得 .于是所求特解为 .
13.解题过程见课本212页例5.

四、应用题：
1.解法一：设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V，从而高，水池表面的面积

S的定义域.
这个问题就是求二元函数S在区域D内的最小值.

解方程组 在区域D内解得唯一得驻点.
根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长，宽均为，高为时，水池所用材料最省.
解法二：设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V，水池表面的面积

S的定义域.此题就是求函数在约束条件xyz=V下的最小值.
构造拉格朗日函数 .

解方程组
比较（1），（2），（3）式，得 x=y=2z，代入（4）式中，有,即.
于是，x,y,z只有唯一一组解.
由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此，函数S在其唯一驻点处必取得最小值.
故当长方形水池的长，宽，高分别是时所用材料最省.
2.解题过程见课本98页例4.

3.利用二重积分求闭区域的面积
解：所求区域的面积为 ，其中D为抛物线所围成的闭区域.两曲线交于两点（0,0），（1,2）.选择先对积分，于是，
.
4.利用三重积分计算立体的体积.
解法一：所求立体的体积为 ，其中是抛物面与锥面所围成的立体.
利用直角坐标计算.由与消去，解得，即在面上的投影区域D为圆域.于是
.
因此
= （用极坐标）
.
解法二：所求立体的体积为 ，其中是抛物面与锥面所围成的立体.
利用柱面坐标计算. 由与消去，解得，即在面上的投影区域D为圆域.于是，在柱面坐标变换下
.
因此
.

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