高等数学2期末复习题与答案.doc

高等数学2期末复习题一、填空题：1. 函数的定义域是 1X2+Y23 .2.设则 .3.函数在点的全微分 4设则 .设则 .5.设 而 则 6函数 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，）的方向导数是 7.改换积分次序 ； .8若L是抛物线 上从点A到点B的一段弧，则= 9.微分方程的通解为 .二、选择题：1 等于 （ ）（上下求导）A2， B. C.0 D.不存在2函数 的定义域是（ D ）A B. C. D3. （ B ）A. B. C. D. 5.设，且F具有导数，则（D ）A.； B.；C. ； D. .6曲线 ，在 处的切向量是 （ D ）A B. C. D.7对于函数 ，原点 （ A ）A是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点8设I=， 其中D是圆环所确定的闭区域，则必有（ ）AI大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符号不能确定。9. 已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分 ，则a等于 （ ）. A -1 B 1 C 2 D -210若L为连接及两点的直线段，则曲线积分=（ ）A0 B.1 C. D.211.设D为则（ ） A.； B. ； C. ； D. .12. 微分方程的通解为（ ）A.； B.；C.；D.13.（ ）是微分方程在初始条件下的特解.A.；B.；C.；D.三、计算题：1.设，求 及，其中f 具有一阶连续偏导数. 2 设， 求 ， 3 求旋转抛物面 在点处的切平面及法线方程。4 求函数的极值5 计算，其中D是由圆周 及轴所围成的右 半闭区域.6 计算，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）为顶点的三角形闭区域.7.计算 ，其中是三个坐标面与平面 所围成的区域.8.计算 ，其中L为圆 的正向边界。9.计算曲线积分 其中L是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0). 10.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.11.求微分方程 的通解.12.求解微分方程的特解： 13.解微分方程 .四、应用题：1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.3.求抛物线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面与锥面所围成的立体的体积.高等数学2期末复习题答案一、填空题：1、 2、 3、 4、 5、6、 （注：方向导数）7、； 8、 （注：） 9、二、选择题：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C;11. C; 12.C; 13.D三、计算题：1.解：令，则 2. 解：两方程分别两边对求偏导数，注意是关于的二元函数，得 即 这是以为未知量的二元线性方程组。当 时，有 ，3. 解：旋转抛物面 在点处的切向量 于是，所求切平面方程为 ，即 法线方程为 4. 解：解方程组，得四个驻点.又 . 对且,则是函数的极小值点； 对,则不是极值点； 对,则不是极值点； 对,且,则是函数的极大值点. 于是，函数有极小值，极大值 .5. 解：利用极坐标变换，令，则，且D可表示为：.于是 .6. 解：三角形区域D由直线及轴围成，选择先对积分，.（注：此题也可以参看课本167页例2的解法）7.解题过程见课本124页例1.8. 解：在L围成的圆域D:上全在连续的偏导数，从而 .于是由格林公式，得.9. 解：，有 在整个平面上恒成立，所以曲线积分与路径无关，故可取轴上线段OA作为积分路径.OA的方程为，且从0变到2，从而.10. 解：，有 ， 即有在整个平面上恒成立，因此在整个面内，是某个函数的全微分.取ARB为积分路径，其中各点坐标分别为，得 .11. 解法一：方程可改写为 ，这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解. 由，分离变量，得，两边积分，解得 .用常数变易法，将换成.即，.代入原方程，化简得 .故 .于是方程的通解为 .解法二：方程可改写为 .这是一阶非齐次线性微分方程，其中.利用通解公式 .12. 课本212页第8题第（1）小题。 解：原方程可写成 .令，即 ，有 ，则原方程成为 ，分离变量，得 .两边积分，得.代入并整理，得通解 .由初始条件得 .于是所求特解为 .13.解题过程见课本212页例5.四、应用题：1.解法一：设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V，从而高，水池表面的面积 S的定义域. 这个问题就是求二元函数S在区域D内的最小值. 解方程组 在区域D内解得唯一得驻点.根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长，宽均为，高为时，水池所用材料最省. 解法二：设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V，水池表面的面积 S的定义域.此题就是求函数在约束条件xyz=V下的最小值.构造拉格朗日函数 . 解方程组 比较（1），（2），（3）式，得 x=y=2z，代入（4）式中，有,即.于是，x,y,z只有唯一一组解.由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此，函数S在其唯一驻点处必取得最小值.故当长方形水池的长，宽，高分别是时所用材料最省.2.解题过程见课本98页例4.3.利用二重积分求闭区域的面积解：所求区域的面积为 ，其中D为抛物线所围成的闭区域.两曲线交于两点（0,0），（1,2）.选择先对积分，于是，.4.利用三重积分计算立体的体积. 解法一：所求立体的体积为 ，其中是抛物面与锥面所围成的立体. 利用直角坐标计算.由与消去，解得，即在面上的投影区域D为圆域.于是.因此 = （用极坐标） .解法二：所求立体的体积为 ，其中是抛物面与锥面所围成的立体. 利用柱面坐标计算. 由与消去，解得，即在面上的投影区域D为圆域.于是，在柱面坐标变换下.因此 .13