高中文科数学三角函数.doc

第三讲、三角函数
八、 基本初等函数II（三角函数）
  （一）任意角的概念、弧度制
1.了解任意角的概念。
2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化。
  （二）三角函数
    1.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
    2.能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 的图像，了解三角函数的周期性。
    3.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数的单调性。
    4.理解同角三角函数的基本关系式： 。
    5.了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数 对函数图像变化的影响。
    6.会用三角函数解决一些简单实际问题。
角的概念的推广和弧度制
1角和角终边相同：
2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：
角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化：
1弧度
4弧长公式： （是圆心角的弧度数）
5扇形面积公式：
任意角的三角函数、诱导公式
1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，那么
； ； ；
（； ； ）

2 三角函数的符号：

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sin
+
+
－
－
cos
+
－
－
+
tan
+
－
+
－
cot
+
－
+
－

3特殊角的三角函数值：

0

sin
0

1
0

cos
1

0

0
tan
0

1

∞
0
∞
cot
∞

1

0
∞
0
4三角函数的定义域、值域：
函 数
定 义 域
值 域

5诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：，，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四：；
诱导公式五：；

－

sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cos
sin
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
同角三角函数的基本关系
1倒数关系：，，
2商数关系：，
3平方关系：，，
两角和与差的正弦、余弦、正切
1和、差角公式
；
；

2二倍角公式
；
；

3降幂公式
；；
4半角公式
；；
5万能公式
；；
6积化和差公式
；；
；
7和差化积公式
；；
；
8三倍角公式：
sin3= cos3=
9辅助角公式：

三角函数的图像与性质
1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2三角函数的单调区间
3函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
4由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象
5 由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置
6对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8 求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图
三角函数的最值及综合应用
1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）
2y=asin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：
3y=型
（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）＝型
（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决
5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式
6．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
或
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．
8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
9三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．

一、选择题
1、 下列各三角函数值中，取负值的是（ ）;
A.sin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos570
2、α角是第二象限的角，││=,则角属于： （ ）
A． 第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限.
3、已知、是第二象限的角，且，则 （ ）
A.; B.； C.；D.以上都不对.
4、函数y= sin(2x+)的一个增区间是( )
A. [-] B. [-] C. [-] D. [-]
5、已知-x< ,cosx=,则m的取值范围是( )
A．m<-1 B. 33 D. 3
③ 的图象关于点 对称；
④ 的图象关于直线对称.
以上命题成立的序号是__________________.
13、函数y=f(x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变, 将横坐标伸长到原来的两倍, 然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位, 得到的曲线与y=sinx的图象相同, 则y=f(x) 的函数表达式是_________________;

三、解答题
14、当时，化简：

15、已知、是方程的两实根，求:
(1) m的值； （2）的值.

16、已知，且、是方程的两根，求函数的值域.

17、函数的一个周期内的图象如下图，求y的解析式。
（其中 ）

18、已知函数的最大值是3，并且在区间
上是增函数，在上是减函数，求.