2016学年高二人教版数学选修1-1练习：3章末小结-Word版含答案.docx

高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降yf(x)的导数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析解析：因为函数yf(x)的导函数yf(x)在区间a，b上是增函数，即在区间a，b上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭由图易知选A.答案：A导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解析：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016整理得：x8，x02.y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标(x0、y0)、则f(x0)3x14x01，或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“”连接(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理函数f(x)ln x(x0，aR)(1)试求f(x)的单调区间；(2)当a0时，求证：函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a1.分析：解答(1)可以利用解不等式f(x)0或f(x)0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)，单调递增；当a0时，x(0，a)，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(0，a)(2)证明：充分性：a1时，由(1)知，在x1处有极小值也是最小值，即f(x)minf(1)0.而f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，在(0，)上有唯一的零点x1.必要性：f(x)0在(0, )上有唯一解，且a0，由(1)知，在xa处有极小值也是最小值f(a)，f(a)0，即ln aa10.令g(a)ln aa1，g(a)1.当0a0，g(a)在(0，1)上单调递增；当a1时，g(a)0，g(a)在(1，)上单调递减在(0，) 上有唯一解a1，使得g(a)0.利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现(1)应用导数求函数极值的一般步骤：确定函数f(x)的定义域；解方程f(x)0的根；检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值，若左负右正，则f(x)在此根外取得极小值，否则，此处不是f(x)极值点(2)求函数f(x)在a，b上最值的步骤：求f(x)在(a，b)内的极值；将极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值特别地：当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(，)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间 0，2上有表达式f(x)x(x2)(1)求f(1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在 3，3上的表达式，并讨论函数f(x)在3，3上的单调性；(3)求出f(x)在3，3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值解析：(1)f(1)kf(12)kf(1)k1(12)k.f(0.5)kf(2.5)，f(2.5)f(0.5).(2)f(x)x(x2)，x0，2，设2x0，则0x22，f(x)kf(x2)k(x2)(x22)kx(x2)设3x2，则1x20，f(x)kf(x2)k2(x2)(x4)设2x3，则0x21.又f(x2)kf(x)，f(x)f(x2)(x2)(x4)f(x)k0，由二次函数知识得f(x)在3，2上是增函数，在2，1上是增函数，在1，0上是减函数，在0，1上是减函数，在1，2上是增函数，在(2，3上是增函数(3)由函数f(x)在3，3上的单调性可知，f(x)在x3或x1处取得最小值f(3)k2或f(1)1，而在x1或x3处取得最大值f(1)k或f(3).故有：k1时，f(x)在x3处取得取小值f(3)k2，在x1处取得最大值f(1)k.k1时，f(x)在x3与x1处取得最小值f(3)f(1)1，在x1与x3处取得最大值f(1)f(3)1.1k0时，f(x)在x1处取得最小值f(1)1，在x3处取得最大值f(3).导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系(1)解决恒成立问题(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)已知函数f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值点且0x11x20；(2)求za2b的取值范围分析：已知函数的极值点，即知f(x)0的根及不等式f(x)0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法解析：f(x)ax22bx2b.(1)由函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根所以f(x)a(xx1)(xx2)，当x0，由xx10，xx20.(2)在题设下，0x11x22等价于即化简得由不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b0，a3b20，4a5b20所围成的ABC的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A，B(2，2)，C(4，2)z在这三点的值依次为，6，8.所以z取值范围.导数在生活中的应用主要有：(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题设某物体一天中的温度T是时间t的函数，T(t)at3bt2ctd(a0)，其中温度的单位是 ，时间的单位是小时中午12：00相应的t0，中午以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数(如早上8：00相应的t4下午16：00相应的t4)若测得该物体在早上8：00的温度为8 ，中午12：00的温度为60 ，下午13：00的温度为58 ，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值解析：(1)因为T3at22btc，而T(4)T(4)，故48a8bc48c8bc，T(t)t33t60(12t12)(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 .