资源描述
高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．
通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．
y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．
解析：因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，即在区间[a，b]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.
答案：A
导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．
特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为
f′(x0)＝3x＋1，
∵直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16
整理得：x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标(x0、y0)、则f′(x0)＝3x＋1＝4
∴x0＝±1，
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
导数与函数的单调性相结合的常见问题：
(1)判断单调性；
(2)求函数的单调区间；
(3)已知单调性，求参数的值．
特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接．
(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．
函数f(x)＝ln x－(x>0，a∈R)．
(1)试求f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求证：函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a＝1.
分析：解答(1)可以利用解不等式f′(x)>0或f′(x)<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．
(1)解析：f′(x)＝－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)，单调递增；
当a>0时，x∈(0，a)，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减；
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(2)证明：充分性：a＝1时，由(1)知，在x＝1处有极小值也是最小值，
即f(x)min＝f(1)＝0.而f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x＝1.
必要性：f(x)＝0在(0, ＋∞)上有唯一解，且a>0，由(1)知，在x＝a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即ln a－a＋1＝0.
令g(a)＝ln a－a＋1，g′(a)＝－1＝.
当0<a<1时，g′(a)>0，g(a)在(0，1)上单调递增；
当a>1时，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴在(0，＋∞) 上有唯一解a＝1，使得g(a)＝0.
利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现．
(1)应用导数求函数极值的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②解方程f′(x)＝0的根；
③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值，若左负右正，则f(x)在此根外取得极小值，否则，此处不是f(x)极值点．
(2)求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
特别地：①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间 [0，2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．
(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在 [－3，3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3，3]上的单调性；
(3)求出f(x)在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．
解析：(1)f(－1)＝kf(－1＋2)＝kf(1)＝k×1×(1－2)＝－k.
∵f(0.5)＝kf(2.5)，∴f(2.5)＝f(0.5)＝＝－.
(2)∵f(x)＝x(x－2)，x∈[0，2]，设－2≤x<0，则0≤x＋2<2，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)(x＋2－2)＝kx(x＋2)．
设－3≤x<－2，则－1≤x＋2<0，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)．
设2<x≤3，则0<x－2≤1.
又∵f(x－2)＝kf(x)，∴f(x)＝
f(x－2)＝(x－2)(x－4)．
∴f(x)＝
k<0，由二次函数知识得f(x)在[－3，－2]上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，在(2，3]上是增函数．
(3)由函数f(x)在[－3，3]上的单调性可知，
f(x)在x＝－3或x＝1处取得最小值f(－3)＝－k2或f(1)＝－1，而在x＝－1或x＝3处取得最大值f(－1)＝－k或f(3)＝－.
故有：①k<－1时，f(x)在x＝－3处取得取小值f(－3)＝－k2，在x＝－1处取得最大值f(－1)＝－k.
②k＝－1时，f(x)在x＝－3与x＝1处取得最小值f(－3)＝f(1)＝－1，在x＝－1与x＝3处取得最大值f(－1)＝f(3)＝1.
③－1<k<0时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－1，在x＝3处取得最大值f(3)＝－.
导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系．
(1)解决恒成立问题．
(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．
已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值点且0<x1<1<x2<2.
(1)证明a>0；
(2)求z＝a＋2b的取值范围．
分析：已知函数的极值点，即知f′(x)＝0的根及不等式f′(x)>0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法．
解析：f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.
(1)由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，知x1，x2是f′(x)＝0的两个根．
所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)，
当x<x1时，f(x)为增函数，f′(x)>0，
由x－x1<0，x－x2<0得a>0.
(2)在题设下，0<x1<1<x2<2等价于即
化简得
由不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的ΔABC的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A，B(2，2)，C(4，2)．
z在这三点的值依次为，6，8.
所以z取值范围.
导数在生活中的应用主要有：
(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；
(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题．
设某物体一天中的温度T是时间t的函数，T(t)＝at3＋bt2＋ct＋d(a≠0)，其中温度的单位是 ℃，时间的单位是小时．中午12：00相应的t＝0，中午以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数(如早上8：00相应的t＝－4下午16：00相应的t＝4)．若测得该物体在早上8：00的温度为8 ℃，中午12：00的温度为60 ℃，下午13：00的温度为58 ℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率．
(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值．
解析：(1)因为T′＝3at2＋2bt＋c，
而T′(－4)＝T′(4)，
故48a－8b＋c＝48c＋8b＋c，
∴⇒
∴T(t)＝t3－3t＋60(－12≤t≤12)．
(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 ℃.
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