圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、面积计算中考专题复习(知识点+题型分类练习).docx

圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、面积计算专题复习
知识点复习：
一、切线的相关知识点
1. 切线的性质：
①圆的切线到圆心的距离等于半径。
②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
2. 切线的判定：
①利用切线的定义。
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。
二、圆与三角形
1.三角形的外接圆
（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。
三、圆与多边形
1.圆与四边形
（1）由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。
*（2）由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。
2.圆与正多边形
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫正多边形的半径。
（1）正多边形与圆的关系
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。
（2）正n多边形的有关计算（11个量）
边数n，
内角和（n－2)×180°;每个内角度数(n-2)×180°÷n或180°-360°÷n，外角和n·180°－(n－2)·180°=360°;每个外角度数360°÷n.;中心角360°÷n;
定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
（3）正多边形的画法
画正多边形的步骤：
第一步：画出符合要求的圆；
第二步：用量角器或用尺规等分圆；
第三步：顺次连结各等分点。
如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。
（4）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
四、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
（1）常见公式：
＝ (其中l为弧长) (其中l为母线长)
（2）弓形的面积
  由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
  弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
（3）边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
五、圆常用辅助线的做法
(1)作半径，利用同圆的半径相等；
(2)作弦心距，利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明；
(3)作半径和弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理进行计算；
(4)构造直径所对的圆周角——直角；
(5)构造同弧或等弧所对的圆周角；
(6)遇到三角形的外心常连结外心和三角形各顶点．
(7)若过一点有两条切线，连接圆心与切点，利用切线长定理解题。

《圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、面积计算》练习题
考点一：切线的性质
1．如图AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝________.
2．如图所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．

第1题 第2题

3.如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．

4．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
(1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长；
(2)若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

5.如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式。

6.如图，P为正比例函数图像上一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）.
(1) 求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标.
(2) 请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围.
(3)求原点O在圆上时圆心P的坐标.

7.如图1所示，以点M（﹣1，O）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=﹣x﹣与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
请求出OE，⊙M的半径r，CH的长；

考点二：切线的判定
1.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线.

2.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=.
⑴ 如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；
M
A
N
E
D
O
图（1）
．
M
A
N
E
D
B
C
O
图（2）
⑵ 如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．

3.已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．

4.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP＝RQ.
说明：RQ为⊙O的切线.

5.如图所示已知A(-6,0)，B (0,8)，以OB为直径的⊙P与AB的另一交点为C，
（1）求P到AB的距离；
（2）C点坐标.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=－x＋5．
⑴求点D的坐标和BC的长；
⑵求点C的坐标和⊙M的半径；
⑶求证：CD是⊙M的切线．

考点三：圆的外接三角形与内切三角形的应用
1. ⊙O的半径是1，△ABC是⊙O的内接三角形，且BC=，那么∠A=________。
2.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________.
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______.
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
5.如图， △ABC内接于⊙O ， ∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O的半径为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.5
6. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，若∠B=40°，则∠ACD=____________．

第3题 第4题 第5题 第6题 第7题
8.如图，O为△ABC的内心，AO交△ABC的外接圆于D，连接BD、CD
求证：DBDO=DC

9.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠AOC的度数。

10.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．

11. △ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC的内切圆的半径长。

12. 任意△ABC中内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.求证：△DEF是锐角三角形。

13.如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°,求△ABC外接圆⊙O的半径.

14.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径。∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。
·
A
B
C
D
P
E
F
O
求证：DP∥AB；

15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

考点四：圆与四边形的应用
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
5.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
6．如图，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原来三角形面积的比是多少？

7.如图，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.

考点五：弧长、扇形的面积
1.在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于(　　)
A.24π cm B.12π cm C.10π cm D.5π cm
2．已知一个扇形的半径为60 cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(　　)
A．12.5 cm B．25 cm C．50 cm D．75 cm
3.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角是为(　　)
A.200° B.160° C.120° D.80°
4.已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为(　　)
A.π B.π＋10 C.π D.π＋10
5.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（　　）
A. B. C. D.
6．如图，小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为(　　)
A．150° B．180° C．216° D．270°
7．圆锥母线为8 cm，底面半径为5 cm，则其侧面展开图的圆心角大小为______．
8.如图，已知正方形ABCD的边长为12 cm，E为CD边上一点，DE＝5 cm.以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为________cm.
9.如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1，∠AOB＝120°，则阴影部分面积是____________．

第5题 第6题 第8题 第9题
10.如图，在正方形ABCD中，CD边的长为1，点E为AD的中点，以E为圆心、1为半径作圆，分别交AB，CD于M，N两点，与BC切于点P，求图中阴影部分的面积．

11.如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_________.
12.如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

13. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．

14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD为直径作⊙O1、⊙O2.
(1)求⊙O1的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．

15．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图为半圆.
求：(1)圆锥的母线与底面半径之比；(2)圆锥的全面积．

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