全国中考数学分类解析汇编专题3：函数问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题3：函数问题

一、选择题
1. （2012海南省3分）星期6，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象。下列说法不一定正确的是【 】

A．小亮家到同学家的路程是3千米 B．小亮在同学家逗留的时间是1小时
C．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路 D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少
【答案】C。
【考点】函数的图象。
【分析】从函数的图象可知，小亮家到同学家的路程是3千米；小亮在同学家逗留的时间是80－20=60（分钟）=1小时；小亮回家时用的时间为95－80=15（分钟），去时用的时间为20分钟，所以小亮回家时用的时间比去时用的时间少。故选项A，B，D都正确。对于选项C，虽然小亮回家时用的时间比去时用的时间少，这只能说明小亮回家时骑自行车的速度加快了，而不一定就是小亮去时走上坡路，回家时走下坡路。
故选C。
2. （2012广东广州3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【 】

　　A．x＜﹣1或x＞1　B．x＜﹣1或0＜x＜1　C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1　D．﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：
由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。故选D。
3. （2012广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为【 】
　　A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．不能确定
【答案】C。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：
∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线的图象经过一、三象限，
∴直线y=x+1与双曲线有两个交点。故选C。
4. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】
　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1
【答案】A。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征。
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：
∵二次函数，∴此函数的对称轴为：。
∵＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。
5. （2012广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】A。
【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y＝x＋1和y＝得，x＋1＝，整理，得
x 2＋x－1＝0。
∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0有两不相等的实数根。
∴直线y＝x＋1与双曲线y＝有两个交点。故选A。
6. （2012福建厦门3分）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.
x
－1
0
1
y
－1
1
3
则y 与x之间的函数关系式可能是【 】
A．y＝x B．y＝2x＋1 C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
【答案】B。
【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：
A．根据表格对应数据代入不能全得出y=x，故此选项错误；
B．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确；
C．根据表格对应数据代入不能全得出y＝x2＋x＋1，故此选项错误；
D．根据表格对应数据代入不能全得出y＝ ，故此选项错误。
故选B。
7. （2012福建漳州4分）在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图
象大致表示为【 】
A． B．C． D．
【答案】D。
【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。
【分析】∵在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且R为正数，∴选项D正确。故选D。
8. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。
9. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】D。
【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956
【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。

∴抛物线的开口向上。
又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。
∴抛物线的顶点在第一象限。故选D。
10. （2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B。
【考点】跨学科问题，函数的图象。
【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数的图象。故选B。
11. （2012湖南张家界3分）当a≠0时，函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是【 】
A.B．C．D．
【答案】C。
【考点】反比例函数和一次函数的图象性质。
【分析】∵当a＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，经过点（0，1），过一．三象限；当a＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，过二．四象限。
∴选项A的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），但的a＜0，不符合条件；
选项B的y=ax+1，a＜0，，的a＜0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件；
选项C的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），的a＞0，符合条件；
选项D的y=ax+1，a＞0，，的a＞0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件。
故选C。
12. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】
　　A．0＜t＜1　　B．0＜t＜2　　C．1＜t＜2　　D．﹣1＜t＜1
【答案】B。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，
∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①，
∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②。
∴由①②得：﹣1＜a+b＜1。∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2。故选B。
13. （2012四川广安3分）时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】函数的图象。
【分析】根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象：
∵设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，
∴当3：00时，y=90°，当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y=75°，
又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，
∴只有D符合要求。故选D。
14. （2012四川德阳3分）设二次函数，当时，总有，当时，总有，
那么c的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x=1时，y=0，即1+b+c=0①。
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②。
①②联立解得：c≥3。故选B。
15. （2012辽宁本溪3分）如图，已知点A在反比例函数图象上，点B在反比例函数 (k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=OD，则k的值为【 】

A、10 B、12 C、14 D、16
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象和性质。
【分析】由已知，设点A（x，），∵OC=OD，∴B（3x，）。
∴，解得k=12。故选B。
16. （2012贵州贵阳3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是【 】

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【答案】B。
【考点】二次函数的图象和最值。
【分析】由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6；当x=﹣5时函数值最小，y最小=﹣3。故选B。
17. （2012山东菏泽3分）已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】
　A．B．C．　D
【答案】C。
【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。
【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴＜0，
∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为，∴由＜0得＜0
∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴。
∴一次函数过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，
观察各选项，只有C选项符合。故选C。
18. （2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】

A．y的最大值小于0 　　　　 B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=－1时，y的值大于1　 D．当x=－3时，y的值小于0
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接作答：由图象知，
A、点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；
B、当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，
故y＜1，故本选项错误；
C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1时，y
的值小于x=1时，y的值1，即当x=－1时，y的值小于1；故本选项错误；
D、当x=－3时，函数图象上的点在点（－2，－1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确。
故选D。
19. （2012山东青岛3分）点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数的图象上，且
x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是【 】
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】A。
【考点】反比例函数的图象和性质。
【分析】作出反比例函数的图象（如图），即可作出判断：
∵－3＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0。
∴当x1＜x2＜0＜x3时，y3＜y1＜y2。故选A。
20. （2012广西南宁3分）已知二次函数y=ax2＋bx＋1，一次函数y=k（x－1）－ ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为【 】
A．a=1，b=2　　　　B．a=1，b=-2　　　　C．a=-1，b=2　　　　D．a=-1，b=-2
【答案】B。
【考点】二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，解二元一次方程组。
【分析】由y=ax2＋bx＋1和y=k（x－1）－组成的方程组，消去y，
整理得，ax2＋（b－k）x＋1＋k＋=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴关于x 的方程ax2＋（b－k）x＋1＋k＋=0有两相等的实数根，
即△=（b－k）2－4a（1+k+）=0，∴（1－a）k2－2（2a＋b）k＋b2－4a=0。
∵对于任意的实数k都成立，∴，解得。故选B。
21. （2012江西南昌3分）某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后到B地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】函数的图象。
【分析】∵某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间，∴休息时油量不在发生变化。从而可排除A，B选项。
又∵再次出发油量继续减小，到B地后发现油箱中还剩油4升，
∴只有C符合要求。故选C。
22. （2012江西省3分）某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后到B地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】函数的图象。
【分析】∵某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间，∴休息时油量不在发生变化。从而可排除A，B选项。
又∵再次出发油量继续减小，到B地后发现油箱中还剩油4升，
∴只有C符合要求。故选C。
23. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】跨学科问题，函数的图象。
【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。
因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。
故选C。
24. （2012青海省3分）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为【 】

A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8
【答案】D。
【考点】函数的图象。
【分析】弄清横、总坐标所表示的意义，然后根据各个特殊点来分段分析整个函数图象：
此函数大致可分以下几个阶段：
①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；
②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；
③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；
④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；
⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；
综合上面的分析得：
由③的过程知，a=1.5﹣1=0.5千米；由②、④的过程知b=（56﹣33）﹣（27﹣12）=8分钟。
故选D。　
25. （2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是【 】．

(A)y=－2x+24(0题等量关系为“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米”，结合BC边的长为x米，AB边的长为y米，可得BC＋2AB=24，即x＋2y=24，即
y=－x＋12。因为菜园的一边是足够长的墙，所以000 km，故速度为100÷5=20 km/h；
乙5 h行驶的距离为100 km－20km =80 km，故速度为80÷5=16 km/h。
∴这两人骑自行车的速度相差20－16=4 km/h。
2. （2012福建漳州4分）如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是 ▲ ．

【答案】4。
【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】由点A(3，n)在双曲线y=上得，n=1。∴A(3，1)。
∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，∴OB=AB。
则在△ABC中， AC=1，AB＋BC=OB＋BC=OC=3，
∴△ABC周长的值是4。
3. （2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，
快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为(，75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．
以上4个结论中正确的是 ▲ (填序号)

【答案】①③④。
【考点】一次函数的应用。
【分析】①设快递车从甲地到乙地的速度为v1千米／时，
由已知，货车的速度为60千米／时，
由图象知，货车行驶时间3小时时，两车相距120千米，得
，解得v1=100。
∴快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时。故结论①正确。
② 由图象知，快递车行驶3小时到达乙地，∴甲、乙两地之间的距离为3×100=300（千米）。
故结论②错误。
③ ∵快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，即小时，
∴点B的横坐标为3＋。
又∵小时货车行驶了（千米），
∴此时两车相距120－45=75（千米），即点B的纵坐标为75。
∴图中点B的坐标为(，75)。故结论③正确。
④ 设快递车从乙地返回时的速度为v2千米／时，
由③和图象可得，，解得v2=90。
∴快递车从乙地返回时的速度为90千米／时。故结论④正确。
综上所述，结论①③④正确。
4. （2012湖南益阳4分）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3，则反比例函数解析式为。
5. （2012湖南湘潭3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是　 ▲ ．
【答案】。
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式。
【分析】由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴。
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：。
6. （2012贵州黔南5分）如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线上，设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l 与m的函数解析式为　 ▲ 　。

【答案】。
【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+AB），建立函数关系式：
把x=m代入抛物线中，得AD=，
把y=代入抛物线中，得，解得x1=m，x2=6－m。
∴C的横坐标是6－m。∴AB=6－m－m=6－2m。
∴矩形的周长是。
7. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ▲ 秒．

【答案】36。
【考点】二次函数的应用
【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称。
则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。
∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。
8. （2012广西贵港2分）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图像恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是　　▲　　。
【答案】0＜m＜2。
【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。
【分析】分段函数y＝的图象如右图所示：
故要使直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2。
9. （2012广西玉林、防城港3分）二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 ▲ 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图像来分析）.

【答案】7。
【考点】网格问题，二次函数的图像。
【分析】作出二次函数的图像即可得出二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个。

三、解答题
1. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到ya(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴
∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x－6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y= (x－6)2+2.6
∵当x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
∵当y=0时，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时，y= (9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，y= (18－6)2+h=≤0 ②
由① ②解得h≥。
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。
【考点】二次函数的性质和应用。
【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。
（2）利用h=2.6，当x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论。
（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。
2. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.
（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？
（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：
每天售出瓶数
17
18
19
20
频数
1
2
2
5
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.
【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式
为y=5x－60
当5x－60≥0时，x≥12，
∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。
（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有
5天，
∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。
（3）小明说的有道理。理由如下：
∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y5x－57
在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，
总获利为28+33×2+38×7=360>355 。
∴小明说的有道理。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。
（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。
（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。
3.. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求-的值；
（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。
①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。
②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。
（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。
由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，
则AA1=yA，OA1=1。
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，
则BD=yB－yC，CD=1。
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。
则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。
∴ ，即。
过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。
∴，即。
∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12bx1+c，
∴，化简，得x12＋x1－2=0，
解得x1=－2（x1=1舍去）。
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。
则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。
∴的最小值为3。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。
①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。
②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可。
（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到，，再根据△AEG∽△BCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出 的最小值。
4. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）

【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。
将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，
∴（1≤x≤6，且x取整数）。
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：
，解得：。
∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。
（2）当1≤x≤6，且x取整数时：

=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。
∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。
当7≤x≤12时，且x取整数时：
W2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。
∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。
（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，
设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。
∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。
∴a≈57。
答：a整数值是57。
【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）18000，进而求出即可。
5. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交
点．
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；
（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点N．当 取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式．
【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2＞0）上，
∴ c＝k2＝3d 。
∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。
∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。
∴ AM＝3d。
过点B作BT⊥AM，垂足为T。
∴ BT＝2，TM＝d。
∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。
在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝。
∴点B(3，)。
（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点，
∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。
∴k1＝－k2，b＝k2。
∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限，
∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b），
∴＝ ＝x2＋x＝－x2＋x。
＝
∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。
∴1≤