【备考2018】就题论题之高考理科数学大题19(第五期).docx

就题论题 第五期（该期刊仅在学科网发行，未经允许不得转载。）
【备考2018：就题论题之高考理科数学大题19】
备考2018：我一题一题讲，你一题一题学！
就题论题之高考数学复习题型入门
总述：
我们经常讲高考是有规律的。的确，正是固定的题目模式给了我们研究高考的方向。因此我们打算每个题每个题给同学们讲述，让同学们逐题突破。这种固定的题目模式我们叫做——题型。我们每个学科先给同学们考试题型的分布和具体分数设置，然后具体逐个突破。

高考数学试卷结构：

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

从以上我们可以看出：
试卷总体分三个部分，分选择题、填空题和解答题。
两道选考，二选一做答。

所以，想要获得自己理想分数，不是指望哪个题要拿满分，而是那一些题该拿多少分，不要因小失大。有些同学总是以为只要自己不断练习就会获得130、140这样的高分，但是如果你的分数只有90、100这样，难免好高骛远了，所以在每一次考试明确自己那个该得分，得多少分我们都应该明白，而在哪个分数或者说要达到哪个分数我们会给出一些参考。

【十进制标准】
所谓十进制标准，就是把自己的目标设置为在自己的原有的分数上再加10分。比如你现在90分，那么你下一次考试目标就是100了，但是当你考140的时候，目标不可能150，因为这几乎不可能！所以当分数到达普通高考极限时，你要做的就是能提一分算一分。

【提前说一说】
19题一般考查统计概率，难度较大。统计是作图识图，根据图进行解答问题。概率是从图得到的信息进行处理，然后根据问题解决问题，从而达到解题的目的。

【解题步骤】
①.看清图，观察数据特点；
②.做第一小问，耐心计算；
③.提取题干关键信息，根据题图整理数据；
④.计算，得出答案。

我们这一期来探讨一下高考数学卷的高考理科数学大题19。
我们看看2017年刚刚考完的新课标Ⅰ卷：

19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．

【我来论题】
很多同学拿到题会很难人手，会浪费较多时间也不一定能解得出来。
建议同学们如果遇到难题，不要犹豫，果断下一题，不要怕下一题不会，只怕你说试卷很难，那么你就应该加强知识，而不是一味做题，做对开心，做错伤心，一无所获。

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此
.
的数学期望为.
（2）i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.
，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.

【题目很长，答案更长】

答案是分步骤得分的，所以需要明确得分点。认真研读考纲，考点就是得分点。
第一问较为简单的，但是有时第二问更简单的，所以不要轻易放弃。

新课标Ⅱ：

19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.
（1）证明：直线 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值

【我来论题】
立体几何，参考第五期。

19.解：

（1）取中点，连结，．
因为为的中点，所以,,由得，又
所以．四边形为平行四边形， ．
又，，故
（2）

由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则，，，，
,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，
即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上，学|科网设

由①，②得

所以M，从而
设是平面ABM的法向量，则

所以可取m=（0，-，2）.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为

新课标Ⅲ：
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
19.解：
（1）由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以

（2）

由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故

设是平面DAE的法向量，则
可取
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为

【观点】
和上一期相同，我们这一期就不再赘述。
那么今年高考是否出现意外，还是传递出一个信号？
我看来是一个信号，明确要求考生加强创新性思维的训练力度，这一年的统计概率可谓难倒一大片学生，成为了拉分题。
什么信号呢？
一是，注意创新思维训练力度；
二是，加强计算技巧方法认识。

【19题入门题目一】
(19) （本小题满分12分）
如图, 平面，平面, △是等边三角形，,
是的中点.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，
求二面角的余弦值.

(19) 解:
（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,
所以. …………………………………1分
因为平面, 平面,
所以. …………………………………2分
因为,
所以平面. ……………………3分
因为平面,
所以. ……………………………4分
（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴过且
与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
因为平面,
所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分
由题意得, 即,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又, 则, .…………………………7分
故,, , . ……………………………8分
于是, ,,,
设平面与平面的法向量分别为,
由 得 令,得,
所以. …………………………………9分
由 得 令,得, .
所以. …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为. …………………………………12分
法2: 因为平面,
所以为直线与平面所成角. …………………………………5分
由题意得, 即,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又,
则, , . …………………………………7分
由于平面,平面, 则∥.
取的中点, 连接, 则.
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
取的中点, 连接,, ,
则. …………………………………8分
所以为二面角的平面角. …………………………………9分
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
因为, …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为. …………………………………12分

【19题入门题目二】
19．在正三棱柱中，，，点为的中点

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点为上的点，且满足，若二面角的余弦值为，求实数的值．
19．解：（Ⅰ）证明，连接交于，则为的中点
连接，则，而平面
所以平面；
（Ⅱ）方法一：过作于，则平面，过作，垂
足为，连，则，所以为二面角的一个平面角．
设，则，所以，所以
因为，所以
故
因，故，解得
此时，点为的中点，所以
方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过作于，则平面，
设，则，，，所以，

依题意为平面的一个法向量，
设为平面一个法向量，
则由可得
所以解得，所以

【19题入门题目三】
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（I）求证：；
（II）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
P
B
C
D
M
A

19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用．
【分析】（I）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明；
（II）假设存在点，利用二面角的大小为确定点的位置，再利用平面的法向量求线面角．
A
D
B
C
【解答】（I）如图，由已知得四边形是直角梯形，
由已知，，
可得是等腰直角三角形，即，
又平面，则，
所以平面，
所以．……4分
（II）存在．法一：（猜证法）
观察图形特点，点可能是线段的中点．下面证明当是线段的中点时，二面角的大小为．……5分
过点作于，则，则平面．
过点作于，连接，则是二面角的平面角．
P
B
C
D
M
N
G
A
z
x
y
因为是线段的中点，则，，
在四边形求得，则．……8分
在三棱锥中，可得，
设点到平面的距离是，，
则，解得．……10分
在中，可得．
设与平面所成的角为，则．……12分
法二：（作图法）
过点作于，则，则平面．
过点作于，连接，则是二面角的平面角．
若，则，又，易求得．
即是线段的中点．……8分
（以下同解法一）
法三：（向量计算法）
建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，．
设（），则的坐标为．……6分
设是平面的一个法向量，则
，得，则可取．……8分
又是平面的一个法向量，
所以
解得．即点是线段的中点．……10分
此时平面的一个法向量可取，．
与平面所成的角为，则．……12分