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考研数学高数习题—微分中值定理.docx

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2、上连续,在上可导,且,证明:,使得。6、假设在上连续,在上可导,证明:,使得。7、不用求出函数的导数,说明方程的实根个数并指明它们所在的区间。提示:次多项式至多有个不同的实根。8、设为定义在上的可导函数,且满足,证明:至多有一个实根。9、若函数在上具有二阶导数,并且,其中,证明:,使得。10、(1)假设,证明:;(2)证明:。11、证明恒等式:。参考答案1、(1)在区间上不满足罗尔定理的条件,也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不可导。(2)在区间上不满足罗尔定理的条件,也不满足拉格朗日中值定理的条件。在处非左连续。(3)在区间上不满足罗尔定理的条件,但满足拉格朗日中值定理的条件。因为在上

3、连续,在上可导,但。(4)在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续,在区间上可导,并且。2、 (1)在区间上不一定满足罗尔定理的条件,也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不一定可导。(2)在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续,在区间上可导,并且。(3)在区间上不一定满足罗尔定理的条件,但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在区间上连续,在区间上可导,但和不一定相等。(4)在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续,在区间上可导,并且。3、反证法假设,使得有,有有,由此可知不是的极值点,与题中已知矛盾,同理可

4、证的情况,综上可知5、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法,我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。4、罗尔定理的证明;运用费马引理证明。1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品,与此同时,也产生了许多垃圾。5、提示:对运用罗尔定理。证明:在上连续,在上可导,由拉格朗日中值定理可知,必,使得。答:这个垃圾场不仅要能填埋垃圾,而且要能防止周围环境和地下水的污染。6、拉格朗日中值定理的证明,运用罗尔定理。答:无色无味,比空气重,不支持燃烧。7、有三个实根,分别在区间、及。2、物质变化有快有慢,有些变化只改变了物质的形态、形状、大小,没有产生新的不同于原来的物质,我们把这类变化称为物理变化

5、;有些变化产生了新的物质,我们把有新物质生成的变化称为化学变化。8、提示:反证,假设有两个不同实根,再对运用罗尔定理。证明:假设有两个不同实根,则有,又由为定义在上的可导函数知在上连续,故由罗尔中值定理可知,必存在一点使得,与矛盾,故假设不成立,即至多有一个实根。9、提示:分别在区间和上运用一次罗尔定理,然后再上再运用一次罗尔中值定理。证明:由函数在上具有二阶导数,可知在上连续、上可导,且,由罗尔中值定理可知,至少存在一个使得,至少存在一个使得,故,再由罗尔中值定理可知至少存在一个使得,综上可知:,使得。二、问答题:10、(1)提示:对运用拉格朗日中值定理;5、在咀嚼米饭过程中,米饭出现了甜味

6、,说明了什么?证明:构建辅助函数,由在上连续,在上可导,通过拉格朗日中值定理可知,必存在一个使得,又为单调增函数,有,故有。5、在咀嚼米饭过程中,米饭出现了甜味,说明了什么?(2)提示:对运用拉格朗日中值定理。4、“我迈出了一小步,但人类迈出了一大步。”这句话是阿姆斯特朗说的。证明:构造辅助函数,在上连续,在上可导,必存在一个使得,又,故,则有,即。11、提示:先验证的导数恒为以说明该函数恒为常数,再将取特殊值进一步说明该常数等于。证明:记,则,由此可知为常数,取特殊点有,即。答:连接北斗七星勺形前端的两颗星,并将连线向勺口方延长约5倍远,处于此位置的那颗星就是北极星。在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。

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