考研数学高数习题—微分中值定理.docx

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模块六 微分中值定理
1、 在区间上，判断下列函数是否满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的条件，并说明理由。
（1） （2）
（3） （4）
2、假设为定义在上的可导函数，判断下列函数中一定在区间上满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的有哪些，并说明理由。
（1） （2）
（3） （4）
3、假设可导并且在处取极值，证明：。
4、假设在上连续，在上可导，且，证明：，使得。
5、假设在上连续，在上可导，且，证明：，使得。
6、假设在上连续，在上可导，证明：，使得。
7、不用求出函数的导数，说明方程的实根个数并指明它们所在的区间。
提示：次多项式至多有个不同的实根。
8、设为定义在上的可导函数，且满足，证明：至多有一个实根。
9、若函数在上具有二阶导数，并且，其中，证明：，使得。
10、（1）假设，证明：；
（2）证明：。
11、证明恒等式：。
参考答案
1、（1）在区间上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不可导。
（2）在区间上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。在处非左连续。
（3）在区间上不满足罗尔定理的条件，但满足拉格朗日中值定理的条件。因为在上连续，在上可导，但。
（4）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。
2、 （1）在区间上不一定满足罗尔定理的条件，也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不一定可导。
（2）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。
（3）在区间上不一定满足罗尔定理的条件，但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，但和不一定相等。
（4）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。
3、反证法
假设，使得有，
有
有，由此可知不是的极值点，与题中已知矛盾，同理可证的情况，综上可知

5、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法，我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。4、罗尔定理的证明；运用费马引理证明。

1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品，与此同时，也产生了许多垃圾。5、提示：对运用罗尔定理。
证明：在上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理可知，必，使得。

答：这个垃圾场不仅要能填埋垃圾，而且要能防止周围环境和地下水的污染。6、拉格朗日中值定理的证明，运用罗尔定理。

答：无色无味，比空气重，不支持燃烧。7、有三个实根，分别在区间、及。

2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。8、提示：反证，假设有两个不同实根，再对运用罗尔定理。
证明：假设有两个不同实根，则有，又由为定义在上的可导函数知在上连续，故由罗尔中值定理可知，必存在一点使得，与矛盾，故假设不成立，即至多有一个实根。
9、提示：分别在区间和上运用一次罗尔定理，然后再上再运用一次罗尔中值定理。
证明：由函数在上具有二阶导数，可知在上连续、上可导，且，由罗尔中值定理可知，至少存在一个使得，至少存在一个使得，故，再由罗尔中值定理可知至少存在一个使得，综上可知：，使得。

二、问答题：10、（1）提示：对运用拉格朗日中值定理；

5、在咀嚼米饭过程中，米饭出现了甜味，说明了什么？证明：构建辅助函数，由在上连续，在上可导，通过拉格朗日中值定理可知，必存在一个使得，又为单调增函数，有，故有。

5、在咀嚼米饭过程中，米饭出现了甜味，说明了什么？（2）提示：对运用拉格朗日中值定理。

4、“我迈出了一小步，但人类迈出了一大步。”这句话是阿姆斯特朗说的。证明：构造辅助函数，在上连续，在上可导，必存在一个使得，又，故，则有，即。
11、提示：先验证的导数恒为以说明该函数恒为常数，再将取特殊值进一步说明该常数等于。
证明：记，则，由此可知为常数，取特殊点有，即。

答：连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。
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