专题21梯形讲解.doc

专题21-梯形讲解精课 题梯 形教学内容一、【中考要求】梯形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，探索并了解等腰梯形的有关性质，探索并了解四边形是等腰梯形的条件。二、【三年中考】1如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABADCD.若ABC60，BC12，则梯形ABCD的周长为_解析：过点D作DEAB交BC于点E，易证DEC是等边三角形，DCECBEADAB，梯形ABCD的周长为30.答案：302如图，在梯形ABCD中，ADBC，B70，C40，作DEAB交BC于点E，若AD3，BC10，则CD的长是_解析：DEAB，DECB70.又C40，DECEDC70，CDCEBCAD1037.答案：73如图，沿虚线EF将ABCD剪开，则得到的四边形ABEF是()A梯形 B平行四边形 C矩形 D菱形解析：动手操作法可知选A.答案：A4如图，已知在梯形ABCD中，DCAB，ADBC，BD平分ABC，A60.(1)求ABD的度数；(2)若AD2，求对角线BD的长解：(1)DCAB，ADBC，梯形ABCD是等腰梯形，ABCA60.又BD平分ABC，ABDCBDABC30.(2)A60，ABD30，ADB90.AB2AD4.对角线BD2.三、【考点知识梳理】（一）梯形的定义、分类及面积1定义：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形其中，平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的高2分类：梯形3面积：S梯形(上底下底)高中位线高（二）等腰梯形的性质与判定1性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形在同一底边上的两个角相等；(3)等腰梯形的对角线相等；(4)等腰梯形是轴对称图形2判定：(1)定义法；(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形（三）梯形的中位线1定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线2判定：(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰；(2)定义法3性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（四）解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法1基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题2常见辅助线的作法：温馨提示：梯形辅助线的做法较多，但要把握一个原则：题中涉及什么量一般就做什么量（边、角、对角线、面积（转化为高）的辅助线。四、【中考典例精析】类型一 梯形的有关知识(1)如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B30，C60，AD4，AB3，则下底BC的长为_(2)如图，在梯形ABCD中，DCAB，AB90.若AB10，AD4，DC5，则梯形ABCD的面积为_(3)设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图(单位：米)设路基高为h，两侧的坡角分别为和，已知h2，45，tan，CD10.求路基底部AB的宽；修筑这样的路基1 000米，需要多少土石方？【点拨】研究梯形问题常用的数学思想方法有：转化思想，数形结合思想，通过做辅助线把梯形问题转化为特殊三角形、特殊平行四边形等简单图形【解答】(1)如图，分别过A、D作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，在RtABE中，AEABsin30，BEBAcos304.5.在RtCDF中，CF1.5，所以BC1.544.510.(2)如图，过点C作AD的平行线CE交AB于点E.ABCD，四边形AECD是平行四边形，CEAD4，DCAE5.ADEC，CEBA.AB90，CEBB90.ECB90，即ECB是直角三角形AE5，AB10.EBABAE5.由勾股定理，得BC3.过C作CFAB于F，由SCEBCEBCBECF，得435CF，CF2.4.所以梯形ABCD的面积为18.(3)作DEAB于E，CFAB于F，则DECF2，在RtADE中，45，AEDE2.在RtBCF中，tan，BF2CF4.在梯形ABCD中，又EFCD10，ABAEEFFB16(米)在梯形ABCD中，AB16，CD10，DE2，面积为(CDAB)DE(1016)226(平方米)，修筑1 000米路基，需要土石方：261 00026 000(立方米)类型二 等腰梯形、直角梯形(1)如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABADCD.若ABC60，BC12，则梯形ABCD的周长为_ (2)如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至DE，连结AE、CE，ADE的面积为3，则BC的长为_(3)如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC.求证：AC180.【点拨】(1)通过作等腰梯形的两条高把梯形转化为直角三角形和矩形求周长(2)注意直角梯形的特殊性质有两个内角是直角(3)考查等腰梯形的性质【解答】(1)如图，过A、D分别作AEBC，DFBC，则四边形AEFD为矩形，所以EFAD.因为ABCD，ADBC，B60，所以BC60.设BECFx，则ABADCDEF2x，所以x2xx12，x3，则梯形ABCD的周长为10x30.(2)过点E作EFAD的延长线于点F，过点C作CHAD的延长线于点H.易证四边形ABCH为矩形，EDFDCH，ADEF3，AD2，EF3，DH3，BCADDH235.(3)证明：梯形ABCD是等腰梯形，BC.又ADBC，AB180AC180.五、【易错题探究】下列说法中正确的是()A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形B有一组对角互补的梯形是等腰梯形C有一组邻边相等的梯形是等腰梯形D有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形【解析】等腰梯形的判定方法有定义法、对角线相等的梯形是等腰梯形、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形经判断B选项是正确的【易错警示】本题常错选A，认为平行的两边为底，相等的对边一定是腰，主要是对梯形的概念认识不清，如一个平行四边形符合一组对边平行，另一组对边相等，但它不是梯形只有当一组对边平行，另一组对边相等且不平行时才是等腰梯形六、【课堂基础检测】1如图，在等腰梯形ABCD中，ACBD，AC6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为_ cm2.答案：182在梯形ABCD中，ADBC，当添加一个条件_时，梯形ABCD是等腰梯形(不添加辅助线或字母，只需填一个条件)答案：答案不唯一，考查等腰梯形的判定如ABDC或AD或BC.3如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD4，BC7，则梯形ABCD的周长是_答案：174梯形ABCD中，ADBC，AD1，BC4，C70，B40，则AB的长为()A2 B3 C4 D5答案：B5如图，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF3，则梯形ABCD的周长为()A9 B10.5 C12 D15答案：C6如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD，BDCD.(1)求sinDBC的值；(2)若BC长度为4 cm，求梯形ABCD的面积 .解：(1)ADAB，ADBABD.ADCB，DBCADBABD.在梯形ABCD中，ABCD，ABDDBCC2DBC.BDCD，3DBC90，DBC30，sinDBC.(2)过点D作DFBC于F，在RtCDB中，BDBCcosDBC2(cm)在RtBDF中，DFBDsinDBC(cm)，在RtDFC中，C60，CD2，AD2.S梯形ABCD(24)3(cm2)七、【课后达标练习】一、选择题1梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD2，B60，则下底BC的长是()A3 B4 C2 D22解析：数形结合法，过点D作DEAB交BC于点E，可证DEC为等边三角形，BCBEEC224.答案：B2如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且AEF的面积为6 cm2，则梯形ABCD的面积为()A12 cm2 B18 cm2 C24 cm2 D30 cm2解析：延长AF交BC的延长线于M，可得ADFMCF，SABMS梯形ABCD24.答案：C3如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线ACBC，B60，BC2 cm，则梯形ABCD的面积为()A3 cm2 B6 cm2 C6 cm2 D12 cm2解析：作等腰梯形的两条高可求得DC2，AB4，高为，S梯形ABCD(24)3 (cm2)答案：A4用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是()A5 B6 C7 D8解析：数形结合法，注意选的是不能围成梯形的答案：B5如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AEDC，AEB60，ABAD2 cm，则梯形ABCD的周长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm解析：ADBC，四边形AECD是平行四边形，AEBC60，ADEC2 cm.在等腰梯形ABCD中，BC60，ABE是等边三角形，ABBEAEDC2 cm.梯形ABCD的周长为：ADABBCCD2222210 (cm)答案：C6在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，且AC5 cm，BD12 cm，则梯形的中位线的长等于()A7.5 cm B7 cm C6.5 cm D6 cm解析：数形结合法，过D作DEAC交BC的延长线于点E，BDEBOC90.ACDE5 cm，又BD12 cm，在RtBDE中，BE13 cm.又ADCE，ADBCBE13 cm.梯形的中位线长为6.5(cm)答案：C7把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后梯形的周长是()A(102) cm B(10) cm C22 cm D18 cm解析：动手操作答案：A8如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD于点O，AEBC，DFBC，垂足分别为E、F，AD4，BC8，则AEEF等于()A9 B10 C11 D12解析：过D作DHAC，交BC延长线于点H，如图所示ADBC，四边形ACHD为平行四边形ACDH，ADCH.ABCD，ADBC，ACBD，DHBD.ACBD，DHAC，BDHAOD90.DFBC，DHBD，DF为RtBDH斜边BH上的中线DFBH(BCCH)(BCAD)(48)6.AEDF，ADEF，AEEFDFAD6410.答案：B二、填空题9如图，在等腰梯形ABCD中，ACBD，AC6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为_ cm2.解析：设梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，四边形ABCD是等腰梯形，ACBD.AC6 cm，BD6 cm.ACBD，S梯形ABCDBDAC6618 (cm2)答案：1810直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，点E在AB上，将CBE沿CE翻折，使B点与点D点重合，则BCE的正切值是_解析：连结BD，过D作DFBC，垂足为点F.由ADBC和ABBC，可推得四边形ABFD是矩形所以BFAD2，DFAB4.因为RtCBE沿CE翻折后为RtCDE，所以CE垂直平分BD，所以BEED，BCEDBC90.由DFBC得BDFDBC90.所以BDFBCE.所以tanBCEtanBDF.答案：三、解答题11已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDCAD2，BC4.求B的度数及AC的长解：(解法一)分别作AFBC，DGBC，F、G是垂足，如图所示AFBDGC90.ADBC，四边形AFGD是矩形AFDG.ABDC，RtAFBRtDGC.BFCG.AD2，BC4，BF1.在RtAFB中，cosB，B60.BF1，AF，FC3.由勾股定理，得AC2.B60，AC2.(解法二)过A点作AEDC交BC于点E，如图所示ADBC，四边形AECD是平行四边形ADEC，AEDC.ABDCAD2，BC4，AEBEECAB.可证BAC是直角三角形，ABE是等边三角形，且BAC90，B60.在RtABC中，ACABtan602.B60，AC2.12在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，E为AD的中点(1)求证：ABEDCE；(2)若BE平分ABC，且AD10，求AB的长证明：(1)ADBC，ABCD，梯形ABCD为等腰梯形BAECDE.又E为AD的中点，AEED.ABEDCE.(2)AEBC，AEBEBC.又BE平分ABC，ABEEBC，ABEAEB，ABAE.又AEAD，AB5.13已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CFAD，MFMA .(1)若MFC120，求证：AM2MB；(2)求证：MPB90FCM.解：(1)连结MD.点E是DC的中点，MEDC，MDMC.又ADCF，MFMA，AMDFMC.MADMFC120.ADBC，ABC90.BAD90，MAB30.在RtAMB中，MAB30，MBAM，即AM2MB.(2)AMDFMC，ADMFCM.ADBC，ADMCMD.CMDFCM.MDMC，MFDC，DMECMECMD.CMEFCM.在RtMBP中，MPB90CME90FCM.