专题21梯形讲解.doc

专题21-梯形讲解

精课 题
梯 形
教学内容
一、【中考要求】
梯形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，探索并了解等腰梯形的有关性质，探索并了解四边形是等腰梯形的条件。

二、【三年中考】
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD.若∠ABC＝60°，BC＝12，则梯形ABCD的周长为________．

解析：过点D作DE∥AB交BC于点E，易证△DEC是等边三角形，∴DC＝EC＝BE＝AD＝AB，∴梯形ABCD的周长为30.
答案：30
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，作DE∥AB交BC于点E，若AD＝3，BC＝10，则CD的长是________．

解析：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝70°.又∠C＝40°，∴∠DEC＝∠EDC＝70°，∴CD＝CE＝BC－AD＝10－3＝7.
答案：7
3如图，沿虚线EF将▱ABCD剪开，则得到的四边形ABEF是(　　)

A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
解析：动手操作法可知选A.
答案：A
4．如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若AD＝2，求对角线BD的长．

解：(1)∵DC∥AB，AD＝BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠A＝60°.
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.
(2)∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°.
∴AB＝2AD＝4.
∴对角线BD＝＝2.

三、【考点知识梳理】
（一）梯形的定义、分类及面积
1．定义：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．其中，平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的高．
2．分类：梯形
3．面积：S梯形＝(上底＋下底)×高＝中位线×高
（二）等腰梯形的性质与判定
1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形在同一底边上的两个角相等；(3)等腰梯形的对角线相等；(4)等腰梯形是轴对称图形．
2．判定：(1)定义法；(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．
（三）梯形的中位线
1．定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线．
2．判定：(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰；(2)定义法．
3．性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（四）解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法
1．基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题．
2．常见辅助线的作法：

温馨提示：
梯形辅助线的做法较多，但要把握一个原则：题中涉及什么量一般就做什么量（边、角、对角线、面积（转化为高））的辅助线。

四、【中考典例精析】
类型一 梯形的有关知识
(1)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3，则下底BC的长为________．

(2)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＋∠B＝90°.若AB＝10，AD＝4，DC＝5，则梯形ABCD的面积为________．

(3)设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图(单位：米)．设路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h＝2，α＝45°，tanβ＝，CD＝10.

①求路基底部AB的宽；
②修筑这样的路基1 000米，需要多少土石方？
【点拨】研究梯形问题常用的数学思想方法有：转化思想，数形结合思想，通过做辅助线把梯形问题转化为特殊三角形、特殊平行四边形等简单图形．
【解答】(1)如图，分别过A、D作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，在Rt△ABE中，AE＝AB·sin30°＝，BE＝BA·cos30°＝4.5.

在Rt△CDF中，CF＝＝1.5，
所以BC＝1.5＋4＋4.5＝10.
(2)如图，过点C作AD的平行线CE交AB于点E.
∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD＝4，DC＝AE＝5.
∵AD∥EC，∴∠CEB＝∠A.
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠CEB＋∠B＝90°.
∴∠ECB＝90°，即△ECB是直角三角形．
∵AE＝5，AB＝10.
∴EB＝AB－AE＝5.
由勾股定理，得BC＝＝＝3.
过C作CF⊥AB于F，
由S△CEB＝CE·BC＝BE·CF，
得×4×3＝×5×CF，∴CF＝2.4.
所以梯形ABCD的面积为＝18.
(3)①作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则DE＝CF＝2，

在Rt△ADE中，∵α＝45°，∴AE＝DE＝2.
在Rt△BCF中，∵tanβ＝，∴＝，
∴BF＝2CF＝4.
在梯形ABCD中，又∵EF＝CD＝10，
∴AB＝AE＋EF＋FB＝16(米)．
②在梯形ABCD中，
∵AB＝16，CD＝10，DE＝2，
∴面积为(CD＋AB)×DE＝(10＋16)×2
＝26(平方米)，
∴修筑1 000米路基，需要土石方：
26×1 000＝26 000(立方米)．
类型二 等腰梯形、直角梯形
(1)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD.若∠ABC＝60°，BC＝12，则梯形ABCD的周长为________．

(2)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连结AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为________．

(3)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：∠A＋∠C＝180°.

【点拨】(1)通过作等腰梯形的两条高把梯形转化为直角三角形和矩形求周长．(2)注意直角梯形的特殊性质有两个内角是直角．(3)考查等腰梯形的性质．
【解答】(1)如图，过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形AEFD为矩形，所以EF＝AD.因为AB＝CD，AD∥BC，∠B＝60°，所以∠B＝∠C＝60°.设BE＝CF＝x，则AB＝AD＝CD＝EF＝2x，所以x＋2x＋x＝12，x＝3，则梯形ABCD的周长为10x＝30.

(2)过点E作EF⊥AD的延长线于点F，过点C作CH⊥AD的延长线于点H.易证四边形ABCH为矩形，△EDF≌△DCH，∵AD·EF＝3，AD＝2，∴EF＝3，∴DH＝3，∴BC＝AD＋DH＝2＋3＝5.
(3)证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C.
又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°
∴∠A＋∠C＝180°.

五、【易错题探究】
下列说法中正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
B．有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
D．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形
【解析】等腰梯形的判定方法有定义法、对角线相等的梯形是等腰梯形、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．经判断B选项是正确的．
【易错警示】本题常错选A，认为平行的两边为底，相等的对边一定是腰，主要是对梯形的概念认识不清，如一个平行四边形符合一组对边平行，另一组对边相等，但它不是梯形．只有当一组对边平行，另一组对边相等且不平行时才是等腰梯形．

六、【课堂基础检测】
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为________ cm2.

答案：18
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，当添加一个条件________时，梯形ABCD是等腰梯形．(不添加辅助线或字母，只需填一个条件)．
答案：答案不唯一，考查等腰梯形的判定如AB＝DC或∠A＝∠D或∠B＝∠C.
3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝4，BC＝7，则梯形ABCD的周长是________．

答案：17
4．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠C＝70°，∠B＝40°，则AB的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
5．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为(　　)

A．9　　 　　B．10.5 C．12 D．15
答案：C
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝A

D，BD⊥CD.
(1)求sin∠DBC的值；
(2)若BC长度为4 cm，求梯形ABCD的面积 .
解：(1)∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD.
∵AD∥CB，∴∠DBC＝∠ADB＝∠ABD.
∵在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠C＝2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴3∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝30°，∴sin∠DBC＝.
(2)过点D作DF⊥BC于F，
在Rt△CDB中，BD＝BC×cos∠DBC＝2(cm)．　
在Rt△BDF中，DF＝BD×sin∠DBC＝(cm)，　
在Rt△DFC中，∵∠C＝60°，∴CD＝2，∴AD＝2.
S梯形ABCD＝×(2＋4)×＝3(cm2)．

七、【课后达标练习】
一、选择题
1．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，∠B＝60°，则下底BC的长是(　　)
A．3 B．4 C．2 D．2＋2
解析：数形结合法，过点D作DE∥AB交BC于点E，可证△DEC为等边三角形，∴BC＝BE＋EC＝2＋2＝4.
答案：B
2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6 cm2，则梯形ABCD的面积为(　　)

A．12 cm2 　　　B．18 cm2 C．24 cm2 　　　D．30 cm2
解析：延长AF交BC的延长线于M，可得△ADF≌△MCF，＝，∴S△ABM＝S梯形ABCD＝24.
答案：C
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则梯形ABCD的面积为(　　)

A．3 cm2 　　　B．6 cm2 C．6 cm2 　　　D．12 cm2
解析：作等腰梯形的两条高可求得DC＝2，AB＝4，高为，∴S梯形ABCD＝×(2＋4)×＝3 (cm2)．
答案：A
4．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：数形结合法，注意选的是不能围成梯形的．
答案：B
5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB＝60°，AB＝AD＝2 cm，则梯形ABCD的周长为(　　)

A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
解析：∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB＝∠C＝60°，AD＝EC＝2 cm.在等腰梯形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE＝DC＝2 cm.∴梯形ABCD的周长为：AD＋AB＋BC＋CD＝2＋2＋2×2＋2＝10 (cm)．
答案：C
6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5 cm，BD＝12 cm，则梯形的中位线的长等于(　　)
A．7.5 cm B．7 cm C．6.5 cm D．6 cm
解析：数形结合法，过D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝∠BOC＝90°.AC＝DE＝5 cm，又BD＝12 cm，∴在Rt△BDE中，BE＝＝13 cm.又AD＝CE，∴AD＋BC＝BE＝13 cm.∴梯形的中位线长为＝6.5(cm)．
答案：C
7．把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后梯形的周长是(　　)

A．(10＋2) cm B．(10＋) cm C．22 cm D．18 cm
解析：动手操作．
答案：A
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于(　　)

A．9 B．10 C．11 D．12
解析：过D作DH∥AC，交BC延长线于点H，如图所示．∵AD∥BC，∴四边形ACHD为平行四边形．∴AC＝DH，AD＝CH.∵AB＝CD，AD∥BC，∴AC＝BD，∴DH＝BD.∵AC⊥BD，DH∥AC，∴∠BDH＝∠AOD＝90°.∵DF⊥BC，DH＝BD，∴DF为Rt△BDH斜边BH上的中线．∴DF＝BH＝(BC＋CH)＝×(BC＋AD)＝(4＋8)＝6.∵AE＝DF，AD＝EF，∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10.

答案：B
二、填空题
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为________ cm2.

解析：设梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AC＝6 cm，∴BD＝6 cm.∵AC⊥BD，∴S梯形ABCD＝BD·AC＝×6×6＝18 (cm2)．
答案：18
10．直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC>AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与点D点重合，则∠BCE的正切值是________．

解析：连结BD，过D作DF⊥BC，垂足为点F.由AD∥BC和AB⊥BC，可推得四边形ABFD是矩形．所以BF＝AD＝2，DF＝AB＝4.因为Rt△CBE沿CE翻折后为Rt△CDE，所以CE垂直平分BD，所以BE＝ED，∠BCE＋∠DBC＝90°.由DF⊥BC得∠BDF＋∠DBC＝90°.所以∠BDF＝∠BCE.所以tan∠BCE＝tan∠BDF＝＝＝.
答案：
三、解答题
11．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长．

解：(解法一)
分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，如图所示．

∴∠AFB＝∠DGC＝90°.
∵AD∥BC，∴四边形AFGD是矩形．
∴AF＝DG.
∵AB＝DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC.∴BF＝CG.
∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1.
在Rt△AFB中，∵cosB＝＝，∴∠B＝60°.
∵BF＝1，∴AF＝，
∵FC＝3.由勾股定理，得AC＝2.
∴∠B＝60°，AC＝2.
(解法二)
过A点作AE∥DC交BC于点E，如图所示．

∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD＝EC，AE＝DC.
∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，
∴AE＝BE＝EC＝AB.
可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形，
且∠BAC＝90°，∠B＝60°.
在Rt△ABC中，AC＝AB·tan60°＝2.
∴∠B＝60°，AC＝2.
12．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E为AD的中点．

(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)若BE平分∠ABC，且AD＝10，求AB的长．
证明：(1)∵AD∥BC，AB＝CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∴∠BAE＝∠CDE.
又∵E为AD的中点，∴AE＝ED.
∴△ABE≌△DCE.
(2)∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.
又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.
又∵AE＝AD，∴AB＝5.
13．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA .
(1)若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
(2)求证：∠MPB＝90°－∠FCM.

解：(1)连结MD.
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，∴MD＝MC.
又∵AD＝CF，MF＝MA，∴△AMD≌△FMC.
∴∠MAD＝∠MFC＝120°.
∵AD∥BC，∠ABC＝90°.
∴∠BAD＝90°，∴∠MAB＝30°.
在Rt△AMB中，∠MAB＝30°，
∴MB＝AM，即AM＝2MB.
(2)∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM＝∠FCM.
∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠CMD.
∴∠CMD＝∠FCM.
∵MD＝MC，MF⊥DC，∴∠DME＝∠CME＝∠CMD.
∴∠CME＝∠FCM.
在Rt△MBP中，∠MPB＝90°－∠CME＝90°－∠FCM.