2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

6.1 平面向量的概念
[A　基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3　　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　)

A.＝ B.∥
C．||＝|| D.＝
解析：选D.由题图可知，||＝||，但、的方向不同，故≠，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b，其中正确的有(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．

解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，
所以与不共线．
又m与，都共线，
所以m＝0.
答案：0
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有：，，，，，，，，，，.
(2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，
所以ED綊BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE綊FD，
所以＝.
10．已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)||＝||，且与不平行．
因为∥，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则||＝||，同时两向量不平行．
(2)＝(或∥)．
若＝，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
[B　能力提升]
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是　(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选D.由平面几何知识知，与方向不同，故≠与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．

解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故||＝.
答案：
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求向量的模．
解：(1)作出向量，，，

如图所示．

(2)由题意得，
△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．
所以||＝5.
[C　拓展探究]
15．如图，A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？

解：模等于半径的向量只有两类，一类是i(i＝1，2，…，8)，共8个；另一类是(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A1，A2，…，A8中四点为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7，另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍，故模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)．

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