2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十九用二分法求方程的近似解新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（二十九） 用二分法求方程的近似解
A级——学考水平达标练
1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝x3－1　　　　　 　B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
解析：选C　因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,1.5)内的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：选B　∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．故选B.
4．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
解析：选B　由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．
5．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A．1.5 B．125
C．1.375 D．1.437 5
解析：选D　由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.
6．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
解析：设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4，即将区间(0,0.1)等分的次数至少为4.
答案：4
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．
答案：(2,3)
8．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．
解析：设f(x)＝x3－2x－1，
则f(1)＝1－2－1＝－2<0，
f(2)＝8－4－1＝3>0.
取区间(1,2)的中点，
则f＝3－2×－1＝－<0，
故下一步可以断定该根所在区间为.
答案：
9．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．
下面用二分法求解：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
－0.444
(1.125,1.25)
1.187 5
－0160
因为f(1.187 5)·f(1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.
10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64,27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．
B级——高考水平高分练
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
证明：∵f(1)>0，
∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，
∴－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.
取区间[0,1]的中点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)为二次函数，最多有两个零点，
∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
∴f(0)·f(2)＝－<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
∴f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，得f＝>0，
∴f ·f <0，下一个有解区间为.
故f(x)＝0的实数解x0在区间内．

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