1、5.1.2 弧度制
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列各式中正确的是( )
A．π＝180 B．π＝3.14
C．90°＝ rad D．1 rad＝π
答案 C
解析 A项，π rad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝rad，故正确；D项，1 rad＝°，故错误．故选C.
2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形圆心角不变
C．扇形面积增大到原来的2倍
D．扇形圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以
2、一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.
3．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵－＝－2π－，∴θ＝－.又－＝－4π＋，∴θ＝.∴使|θ|最小的θ＝－.
4．若α＝2kπ－，k∈Z，则角α所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵－9<－<－8，∴－3π<－<－3π＋.
∴－在第三象限，故α也在第三象限．
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心
3、角的弧度数的绝对值为( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝r，所以弧长r的圆心角的弧度数为＝.
二、填空题
6．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
答案 －10π＋
解析 －1485°＝－1485×＝－＝－10π＋.
7．扇形AOB，半径为2 cm，AB＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为________．
答案
解析 ∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴∠AOB＝90°＝.
8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是
4、．
答案 ，，，
解析 由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
三、解答题
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．
解 ∵150°＝，
∴终边在阴影区域内角的集合为S＝.
∵2019°＝219°＋5×360°＝ rad，
又 <<，∴2019°∈S.
10．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在
5、圆的半径为R.
依题意有解得θ＝或6.
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，
则扇形的圆心角θ＝.
于是扇形的面积是S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2 cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.
B级：“四能”提升训练
1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝(C－2R)R＝－R2＋R＝－2＋2，当R＝，即α＝＝2时，扇形的面积最大，最大面积为.故选C.
2．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇所用的时间及P，Q各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间为t秒，
则t·＋t·＝2π，解得t＝4.
即第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为：×4＝，
Q点走过的弧长为：8π－＝.
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