2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价五新人教A版必修2.doc

单元素养评价(五)
(第十章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为 (　　)
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
【解析】选B.由表知[10，40)的频数为2+3+4=9，所以样本数据落在区间[10，40)的频率为=0.45.
2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生” (　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
【解析】选C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)=，P(B)=，则“出现奇数点或2点”的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以P=P(A)+P(B)=+=.
4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 (　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【解析】选B.某群体中的成员分为只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.
5.某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.数字不小于6有6，7，8，9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P==.
6.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×+×=.
7.若某公司从五位大学毕业生甲，乙，丙，丁，戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.试验的样本空间为Ω={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(甲，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，其中事件甲或乙被录用包含的样本点有9个，故所求的概率为.
8.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω={(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(30)}，共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，所以一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P==.
9.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的正整数倍的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i=0，1，2，…，9)；(1，i)(i=0，1，2，…，9)；(2，i)(i=0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i=0，1，2，…，9).样本空间中共有100个样本点.两个数字都是3的正整数倍的样本点有(33)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9).共有9种.故所求概率为.
10.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i=1，2，3)相互独立，则P(Ai)P(Bi)==，P(Ci)==，i=1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=6P(AiBiCi)=6×××=.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，全选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
11.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法不正确的是 (　　)
A.概率为
B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机，必有1台次品
【解析】选ACD.事件C发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论.
12.抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”已经发生，则下列不是必然事件的是 (　　)

A.“出现奇数点” B.“出现偶数点”
C.“点数大于3” D.“点数是3的倍数”
【解析】选A、C、D.“出现2点”已经发生，由2为偶数，故“出现偶数点”是必然事件.
13.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是 (　　)
A.颜色相同 B.颜色不全同
C.颜色全不同 D.无红球
【解析】选ACD.有放回地取球3次，试验空间中共27个样本点，其中颜色相同的结果有3个，其概率为=；颜色不全同的结果有24个，其概率为=；颜色全不同的结果有3个，其概率为=；无红球的结果有8个，其概率为.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
14.一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)+P(B)+P(C)=________. 
【解析】事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)+P(B)+P(C)=1.
答案：1
15.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________. 
【解析】乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为+=.
答案：
16.袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a=________.  
【解析】因为=，所以a=18.
答案：18
17.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个非透明袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于________.  
【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故所有事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b=6时，a可取3，4，…，9中每个值，有7种；当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为=.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出
人数
2人及
以下
3
4
5
6人及
以上
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4个人或5个人培训的概率.
(2)求至少有3个人培训的概率.
【解析】(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
19.(14分)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.
(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
【解析】(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，方片4用4′表示，则试验的样本空间为Ω={ (2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.
(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，所以甲胜的概率P=，因为≠，所以此游戏不公平.
20.(14分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.
(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值.
(2)已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.
【解析】(1)由题意知=0.07，解得n=200，
所以×100%=30%，解得a=18，
易知a+b=30，所以b=12.
(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2，又a+b=30且a≥7，b≥6，试验的样本空间为Ω={(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)}，共18个样本点，而a>b+2包含的样本点有(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8个，则所求概率P==.
21.(14分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率.

【解析】设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，
显然P(A)=P(B)=P(C)=，
所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A∪B∪AB)C，
所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P=×=.
22.(14分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值.

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得=，所以n=2 000.
则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得=，即a=2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Ω={(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共10个样本点.
事件E包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.
故P(E)=，即所求概率为.
(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)==，即所求概率为.
23.(14分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高
气温
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为=0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，
则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100；
若最高气温位于区间[20，25)，
则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300；
若最高气温不低于25，则Y=450×(6-4)=900，
所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

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