1、5.2.2 同角三角函数的基本关系
[A 基础达标]
1．若cos α＝，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.原式＝1－sin2α＝cos2α＝，故选B.
2．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，
所以sin α＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.
3．(2019·安徽滁州期末)已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C.
2、 D.
解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝.
5．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( )
A. B.
C
3、 D.
解析：选B.1＋sin θcos θ＝
＝
＝，
又tan θ＝2，
所以1＋sin θcos θ＝＝.
6．已知＝，则tan α＝____________．
解析：由＝，得＝，解之得tan α＝－.
答案：－
7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________．
解析：因为tan α＋＝3，
所以＋＝3，
即＝3，
所以sin αcos α＝.
答案：
8．已知＝－5，那么tan α＝________．
解析：易知cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan α＝－.
答案：－
9．化简下列各式：
(1)；
(2)tan
4、α(其中α是第二象限角)．
解：(1)＝＝＝＝1.
(2)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α
＝tan α＝·
＝·＝－1.
10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·＝＋.
证明：左边＝sin α＋
cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋
＝＋＝右边．
即原等式成立．
[B 能力提升]
11．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为A为△ABC的内角，且sin Acos A＝＞0
5、所以A为锐角，所以sin A＋cos A＞0.又1＋2sin Acos A＝1＋，即(sin A＋cos A)2＝，
所以sin A＋cos A＝.
12．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________．
解析：因为＋＝＋，
又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限，
当α在第二象限时，原式＝＋＝0，当α在第四象限时，原式＝＋＝0.
综上所述，原式＝0.
答案：0
13．已知sin α＝，求的值．
解：
＝
＝
＝
＝＝，
当角α是第一象限角时，cos α＝，
tan α＝＝，所以原式＝＝；
当角α是第二象限角时，cos α＝－，tan
6、 α＝＝－，所以原式＝＝.
14．已知sin θ＋cos θ＝，且0<θ<π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝，①
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以2sin θcos θ＝－<0，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ>0，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，②
由①②得，sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝＝－.
(2)法一：由(1)知sin θ＝，
co
7、s θ＝－，
所以
＝
＝.
法二：由(1)得tan θ＝－，
所以原式＝＝＝.
[C 拓展探究]
15．(2019·南昌检测)设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－m<0②，
sin αcos α＝>0③.
又sin2α＋cos2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
因为m1＝2不满足条件①，舍去；因为m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
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