2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(北京卷详解).docx

2022北京卷(文科数学)1 2022北京卷 假设集合A0，1，2，4，B1，2，3，那么AB()A0，1，2，3，4B0，4C1，2D31C解析AB0，1，2，41，2，31，22 2022北京卷 以下函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3CylnxDy|x|2B解析由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.3 2022北京卷 向量a(2，4)，b(1，1)，那么2ab()A(5，7) B(5，9)C(3，7) D(3，9)3A解析2ab2(2，4)(1，1)(5，7)4 2022北京卷 执行如图11所示的程序框图，输出的S值为()图11A1B3C7D154C解析S2021227.5 2022北京卷 设a，b是实数，那么“ab是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5D解析当abb不一定推出a2b2，反之也不成立6 2022北京卷 函数f(x)log2x，在以下区间中，包含f(x)的零点的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，4) D(4，)6C解析方法一：对于函数f(x)log2x，因为f(2)20，f(4)0.50)，又1b2()2，b21，即双曲线C的方程为x2y21.11 2022北京卷 某三棱锥的三视图如图13所示，那么该三棱锥最长棱的棱长为_图13112解析该三棱锥的直观图如下列图，并且PB平面ABC，PB2，AB2，ACBC，PA2，PC，故PA最长12 2022北京卷 在ABC中，a1，b2，cosC，那么c_；sinA_122解析 由余弦定理得c2a2b22abcosC142214，即c2；cosA，sinA.13 2022北京卷 假设x，y满足那么zxy的最小值为_131解析可行域如图，当目标函数线zyx过可行域内A点时，z有最小值，联立得A(0，1)，故zmin0111.14 2022北京卷 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621那么最短交货期为_个工作日1442解析交货期最短，那么应先让徒弟加工原料B，交货期为6211542个工作日15 2022北京卷 an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和15解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1，所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.16 2022北京卷 函数f(x)3sin的局部图像如图14所示图14(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值16解：(1)f(x)的最小正周期为.x0，y03.(2)因为x，所以2x.于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.17 2022北京卷 如图15，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点图15(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积17解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.18 2022北京卷 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图16)组号分组频数10，2)622，4)834，6)1746，8)2258，10)25610，12)12712，14)6814，16)2916，18)2合计100图16(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)18解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是10.9.故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a0.085.课外阅读时间落在组8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组19 2022北京卷 椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，假设点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值19解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.20 2022北京卷 函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)假设过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切(只需写出结论)20解：(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2，1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，那么y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30，设g(x)4x36x2t3，那么“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切等价于“g(x)有3个不同零点g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得3t1.故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切