2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(北京卷详解).docx

2022·北京卷(文科数学)
1． [2022·北京卷] 假设集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，那么A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}
C．{1，2}D．{3}
1．C[解析]A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．
2． [2022·北京卷] 以下函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－xB．y＝x3
C．y＝lnxD．y＝|x|
2．B[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.
3． [2022·北京卷] 向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，那么2a－b＝(　　)
A．(5，7) B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
3．A[解析]2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．
4． [2022·北京卷] 执行如图1­1所示的程序框图，输出的S值为(　　)
图1­1
A．1B．3
C．7D．15
4．C[解析]S＝20＋21＋22＝7.
5． [2022·北京卷] 设a，b是实数，那么“a＞b〞是“a2＞b2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．D[解析]当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．
6． [2022·北京卷] 函数f(x)＝－log2x，在以下区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
6．C[解析]方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.
方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如下列图，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．
7． [2022·北京卷]圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．假设圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，那么m的最大值为(　　)
A．7B．6
C．5D．4
7．B[解析]由图可知，圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以－1≤m≤＋1，即4≤m≤6.
8． [2022·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率〞．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图1­2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最正确加工时间为(　　)
图1­2
A．3.50分钟B．3.75分钟
C．4.00分钟D．4.25分钟
8．B[解析]由题意得解之得
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．
9． [2022·北京卷] 假设(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，那么x＝________．
9．2[解析]∵(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，∴x＝2.
10． [2022·北京卷] 设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，那么C的方程为________．
10．x2－y2＝1　[解析]由题意设双曲线的方程为x2－＝1(b>0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.
11． [2022·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1­3所示，那么该三棱锥最长棱的棱长为________．
图1­3
11．2[解析]该三棱锥的直观图如下列图，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝，PA＝＝2，PC＝＝，故PA最长．
12． [2022·北京卷] 在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，那么c＝________；sinA＝________．
12．2[解析] 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－221＝4，即c＝2；cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.
13． [2022·北京卷] 假设x，y满足那么z＝x＋y的最小值为________．
13．1[解析]可行域如图，当目标函数线z＝y＋x过可行域内A点时，z有最小值，联立得A(0，1)，故zmin＝0＋11＝1.
14． [2022·北京卷] 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序时间原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
那么最短交货期为________个工作日．
14．42[解析]交货期最短，那么应先让徒弟加工原料B，交货期为6＋21＋15＝42个工作日．
15． [2022·北京卷] {an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1＝2n－1，
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
16． [2022·北京卷] 函数f(x)＝3sin的局部图像如图1­4所示．
图1­4
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
16．解：(1)f(x)的最小正周期为π.
x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，
即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
17． [2022·北京卷] 如图1­5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
图1­5
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E­ABC的体积．
17．解：(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E­ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝12＝.
18． [2022·北京卷] 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图1­6)．
组号
分组
频数
1
[0，2)
6
2
[2，4)
8
3
[4，6)
17
4
[6，8)
22
5
[8，10)
25
6
[10，12)
12
7
[12，14)
6
8
[14，16)
2
9
[16，18)
2
合计
100

图1­6
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)
18．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
19． [2022·北京卷] 椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，假设点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，
其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，所以
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4　(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
20． [2022·北京卷] 函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)假设过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)
20．解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
那么y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，
整理得4x－6x＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
那么“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切〞等价于“g(x)有3个不同零点〞．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

t＋3

t＋1

所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得－3<t<－1.
故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．