2022届高三3月质量检测(文科)数学试卷-答案.docx

福建省泉州市2017届高三3月质量检测（文）数学试卷
答 案
1～5．CBCBD
6～10．AACBD
11．A
12．C
二、填空题
13．4
14．
15．
16．
三、解答题
17．（Ⅰ）设等差数列的公差为.
由题意，可得，
整理，得，即，解得，
又，故，
所以.
.
（Ⅱ）

故，
可化为，即，即，
因为在上为增函数，且，
所以的最大值为9.
18．解：（1）取的中点，连结，交于，连结.此时为所求作的点（如图所示）.
下面给出证明：
∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，
故即.
又平面平面，∴平面；
∵平面，平面，∴平面.
又∵平面平面，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）在等腰梯形中，∵，
∴可求得梯形的高为，从而的面积为.
∵平面，∴是三棱锥的高.
设三棱锥的高为.
由，可得，
即，解得，
故三棱锥的高为.
19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，
再由内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人，
则，得；
又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，即，
解得.
进而求得.
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，
由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，
设该校测试评定为“优秀”的学生人数为，则，解得，
所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.
（Ⅲ）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，
故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，
“良好”抽取4人，记为，“优秀”抽取2人，记为，
则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：
共15个，
事件:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件，
所以所求概率.
20．（Ⅰ）抛物线的焦点的坐标为.
因为，
所以可求得点坐标为.
将点坐标代入得，
解得，
故抛物线方程为.
（Ⅱ）依题意，可知与轴不垂直，故可设的方程为，
并设的中点.
联立方程组，消去，得，
所以.
因为线段的中点的纵坐标为1，

所以，即.
因为直线与交于，
所以，得，
故.
由，令得，
故，
设，则，
设，
令得或，
由得，由得，
所以的单调增区间为，单调减区间为，
当时，；当时，，故，
所以的最大值是2.
注：面积也可通过求弦长和点到直线的距离建立，可参照上述类似给分.
21．解：（Ⅰ），
，
令得.
当，即时，，故在上单调递增，
当，即时，令，得，所以在上单调递减；
同理，可得在上单调递增.
当，即时，令，得，所以在上单调递减；
同理，可得在上单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ由（Ⅰ）知，当在上单调递增时，，故.
不妨设，则要证，
只需证，
即证，
只需证，
令，
则，不等式可化为.
下面证明：对任意，
令，即，
则，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以当时，即，
故在上单调递增,
又，
所以当时，，
故对任意，，
所以对任意且，.
22．解一：（Ⅰ）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得，，
即直线的普通方程为，
由圆的极坐标方程为，得，
将代入(*)得，，
即的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入得，，
，
设两点对应的参数分别为，
则，
所以，
因为，
所以当时，取得最小值.
【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由直线的参数方程知，直线过定点，
当直线时，线段长度最小.
此时，，
所以的最小值为.
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）圆心到直线的距离，
，
又因为，
所以当时，取得最大值.
又，
所以当时，取得最小值.
23．解（Ⅰ）：.
①当时，由不等式，解得.
此时原不等式的解集是：.
②当时，由不等式，解得.
此时原不等式的解集是：.
③当时，由不等式，解得，
此时原不等式的解集是：.
综上可得原不等式的解集为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数的图像是如下图所示的折线图.
因为，
故当时，直线与曲线围成一个三角形，
即的范围是.
且当时，.

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