2023版高考数学一轮复习核心素养测评七十二古典概型几何概型理北师大版.doc

核心素养测评七十二 古典概型、几何概型
(25分钟　50分)
一、选择题(每题5分,共35分)
1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,那么取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的根本领件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),
(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的根本领件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.
2.a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},那么函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是
(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数,那么
a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率P==.
3.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=,从这些向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,从所作平行四边形中随机抽取一个,那么它的面积不超过2的概率为 (　　)

A. B. C. D.
【解析】选D.由可得向量,,,,这4个向量组成的平行四边形的面积为4,2,2,10,6,8,所以这个平行四边形的面积不超过2的概率为=.
4.如图,在正方形区域内任取一点,那么此点取自阴影局部的概率是 (　　)
A.-1 B.
C. D.
【解析】选B.阴影局部的面积为(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)=-1,正方形面积为,所以所求概率为=.
5.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,那么田忌的马获胜的概率为
(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),
(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.
6.某一天晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮,月全食阶段的“红月亮〞将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,那么他等待“红月亮〞的时间不超过30分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.如下图,
概率为P==.
7.如下图的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,那么此点取自等边三角形内的概率是 (　　)
A. B.
C. D
【解析】选B.设等边三角形的边长为a,那么每个扇形的面积为S扇形=×π×a2=,S正三角形=,
所以封闭图形的面积为3S扇形-2S正三角形=-,
由几何概型的概率公式可得所求概率为P==.
二、填空题(每题5分,共15分)
8.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,那么方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为________________. 
【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,那么根本领件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),
(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的根本领件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.
答案:
9.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.假设A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________________. 
【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.
答案:
10.m∈{2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为________________.  
【解析】向量a的所有可能情况是:
(-2, -1),(-2, 0),(-2, 1),
(-1, -1),(-1, 0),(-1, 1),
(0, -1),(0, 0),(0, 1),
(1, -1),(1, 0),(1, 1),
(2,-1),(2, 0),(2, 1),
满足|a|>2即m2+n2>4的有(-2, -1),(-2, 1), (2, -1),(2, 1),所以所求概率为.
答案:
(15分钟　35分)
1.(5分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,那么所组成的两位数为奇数的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,那么所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.
2.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,那么点P到三个顶点的距离均大于的概率是 (　　)
A.-π B.1-π C. D.
【解析】选B.如图正△ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,以为半径在△ABC内部画圆弧,得三个扇形,那么题中点P在这三个扇形外,因此所求概率为P==1-π.
3.(5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是____. 
【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有4种方法,所以所求的概率为=.
答案:
【一题多解】将红、黄、白、紫记为1,2,3,4,由列举法可得,
有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6种情况
那么所求概率P==.
答案:
4.(10分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出〞,那么0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y-x≥1或xy≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.
A为图中阴影局部,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.
所求概率为P(A)=
===.
5.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).
(1)求事件“a⊥b〞发生的概率.
(2)求事件“|a|≤|b|〞发生的概率.
【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,
所以事件a⊥b发生的概率为=.
(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,
有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.
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