2022年石室中学外地生招生数学试题.docx

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本卷须知：
2022 年石室中学外地生招生数学考试试题
1．全卷总分值 150 分；考试时间 120 分钟。
2．全卷分第 I 卷和第二卷，第 I 卷是选择题局部，总分值 40 分，需使用 2B 铅笔填涂在机读卡上； 第二卷是非选择题局部，总分值 110 分，需使用签字笔或钢笔书写在答题卡规定的地方。
第 I 卷〔选择题，总分值 40 分〕
一、选择题〔本大题共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分，每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在机读卡上〕
a
1
1．a为实数，且0最高。〞甲、乙、丙三个同学 中，说法正确的选项是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
4．如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交⊙O 于点 E，连接 EC. 假设 AB=8，CD=2，那么
13
EC 的长为( )
A. 2
B.8 C．2
15
10
ìx -a ³ 0
D．2
î
5．假设关于x的不等式组í2x+1£4,恰有三个整数解，那么a的取值范围是( )
A. -2外表积为( )
A.(5900+400π)cm2 B.(5900+500π)cm2 C.(1600+1650π)cm2 D．7500 cm2
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1
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7．二次函数 y= ax 2 + bx+c 的图象如图，其对称轴是直线五 x=-l，给出以下结论：
①b2>4ac；②abc>o；③(a+c)2>b2；④3a+c>0．其中，正确结论的个数是( )
A.1 个 B．2个 C.3个 D.4 个 8． 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB 上的一点，将△BCE 沿CE 折叠至△FCE假设CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，那么⊙O的半径为( )
A.1 B．
C． D．
2 -1
3 -1
3 +1
2
9.α为锐角，关于 x 的方程 3x 2 -4x·sinα+2(1-cosα) =0 有两个不相等的实数根，那么α的取值范围
是 ( )
A. 0°<α<30° B. 0°<α<60° C.30°<α<60° D.60°<α<90°
10.某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为 6

3
的圆碟，圆碟落地后与地
砖间的间隙不相交的概率为( )
3
4 5 2
A. B. C. D.
9 9 3 3
第 II 卷〔非选择题，总分值 110 分〕
A 组〔总分值 60 分〕 二、填空题〔本大题共 5 个小题，每题 4 分，共 20 分〕
2
1+ 3
11． a=

，a=
2 a2 -b2
1- 3
，那么
2a +2b

=.
12.α、β是一元二次方程 x 2 -x-1=0 的两个实数根，那么代数式 a 2 +α(β2 - 2)的值为
．
13．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛测得屏幕下端D 处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6m到达B 处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21m，那么该屏幕上端与下端之间的距离CD 为 m.
14.如图，一次函数 y=kx+b〔k，b 为常数，且 k≠0〕的图象与 x 轴相交于点 A(3，0)．假设正比例函数y= mx(m 为常数，且 m≠0)的图象与一次函数的图象相交于点 P，只且点 P 的横坐标为 1，那么
ìmx＜0，
î
关于x的不等式(k-m)x+b>0的解集为 ，关于x的不等式组íkx-b＜0的解集
为.
15.如图，△ABC 中，ÐBAC=60°, ÐABC=45°,AB=2

2
,D 是线段 BC 上的一个动点
以AD为直径作⊙O 分别交AB，AC于E，连接EF，那么线段EF长度的最小值为。三、解答题〔本大题共4个小题，共40分〕
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2
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16．〔本小题总分值 9分〕
佳佳果品店在批发市场购置某种水果销售，第一次用 1200 元购进假设干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购置时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购置的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，，水果不易保鲜，为减少损失，便降价
50%售完剩余的水果． (1)求第一次购置水果的进价是每千克多少元 (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损盈利或亏损了多少元 17．〔本小题总分值 9分〕
关于 x 的方程 x 2 -2(k+l)x+k 2 +2k-l=0．…①
(1)求证：对于任意实数 k，方程①总有两个不相等的实数根；
1 2 1 2 1 2
(2)如果a是关于y的方程y2-(x +x -2k)y+(x - k)(x -k)=0…②的根，其中x，x是方程①的两个实数
è
ø
1
æa -ö
4 a-1
根，求代数式ça +1
1÷¸a2 + 2a +· a
的值.
18．〔本小题总分值 10分〕
如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别在边 BC，CD 的延长线上，AE 与 CD 的交点为 G，且
ÐEAF= 45°．
(1)试猜想线段 EF，BE，DF 有怎样的数量关系并证明你的猜想；
(2)假设△EGF 与△EFA 相似，求 BE 的长．
19．〔本小题总分值 12分〕
在矩形 AOBC 中，OB=4，OA =3，分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴和夕轴，建立如下列图的平面直
k
角坐标系 xOy.，F是边 BC 上的一个动点〔不与 B，C 重合〕，过点 F的反比例函数 y=
边 AC交于点 E，连接 OE，OF． (1)假设 CF=2BF，求△EOF的面积；
(2)求 tan ÐEFC 的值；
〔k>0〕的图象与
x
(3)是否存在这样的点 F，使得△CEF 沿 EF 折叠后，点 C 恰好落在 OB 上假设存在，求出反比例函数
k
y= 的函数表达式；假设不存在，请说明理由．
x
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3
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B 组〔总分值 50 分〕 四、填空题〔本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分〕
1
20.在一个不透明的袋子中装有 7 个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字-2，-l，-
2

1
，0， ，
2
l ， 2 ， 摇 匀 后 从 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 记 小 球 上 的 数 字 为 α ， 那么 a 使 得 关 于 x 的 分 式 方 程
a
x +1
- 2ax-1=0没有实数解的概率是 ．
x2 +x
21．如图，△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D， ÐACD= ÐABC．E 是 BC 上一点
AE与 CD交于点 F，假设 BE=6，tanÐABC=
5 AF
，那么圆的直径是，
3 FE

=。
22.如图， A，B 是线段 MN 上的两点，MN=8，M4=2，MB＞2．以 A 为中心顺时针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M,N 两点重合成一点 C，构成△ABC．设 AB=x，
那么x的取值范围是，△ABC的最大面积为。
23.如图，在平面直角坐标系 xOy中，P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，…，Pn〔xn，yn〕在
9
反比例函数y= (x>0)的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1Pn都是等腰直
x
角三角形，斜边 OA 1 ,A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，…，A n-1 A n 都在 x 轴上，那么 y 1 +y 2 +…+y n =
含 n的代数式表示〕
五、解答题〔本大题共 2 个小题，共 30 分〕 24．〔本小题总分值 15 分〕
如图，AB，CD 是半径为 5 的⊙O 的两条互相垂直的直径，P 是半径 OD 上的一个动点，经过点 P 的弦 EF∥AB，点 G 在弧 BC 上，连接 EG 分别交 AB，CD 于 M, Q，连接 FG 交 AB 于 N,且ÐGEF= 45°．
EQ
(1)假设 ÐG= 60°，求
QG
的值；
(2)试探究：在点 P 运动过程中，EQ 2 +QG 2 是否为定值并说明理由；
(3)连接 QF，当 S △GQF =12 时，求 MN 的长．
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25.〔本小题总分值 15 分〕
如图(1)，抛物线 y= ax 2 + bx+3 经过 A(-3，0)、B(-1，0)两点．
(1)求抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为 M，直线 y=-2x+9与 y 轴交于点 C，与直线 OM交于点 D。现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上．假设平移后的抛物线与射线 CD(含端点 C)有且只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围：
(3)如图(2)，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q(0，3)作不平行于 x轴的直线交抛物线于 E，F两点， 问在 y轴的负半轴上是否存在点 P，使△PEF的内心在 y轴上假设存在，求出点 P的坐标；假设不存在，请说明理由，
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