1、2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号向量的加法运算1,2,3,4向量加法与平面几何的综合应用5,6,7,10,11,12,13向量加法的实际应用8,9基础巩固1.如图所示,在ABCD中,+等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:+=+=+0=.故选A.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:在原图上取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.3.下列说法正确的是(B)(A)0+0=0(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a(C)对任意a,b都有|a+b|0(D)等式|a+b|=|a|+|b|
2、不可能成立解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B.4.下列向量的运算结果为零向量的是(D)(A)+ (B)+(C)+(D)+解析:A项,+=+=;B项,+=+=;C项,+ +=(+)+=0+=;D项,+=(+)+ (+)=+=0.5.已知P为ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于(D)(A)ABC的AB边上(B)ABC的BC边上(C)ABC的内部 (D)ABC的外部解析:如图,+=,则P在ABC的外部.6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|+|=
3、.解析:因为+=+=,所以|+|=|=2.答案:27.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为的是.(1)+;(2)+;(3)+;(4)+.解析:在(1)中+=+=;在(2)中+=+=;在(3)中+=+=;在(4)中+=+=+=.答案:(3)8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h.(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20 km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为 0 km/h,此时
4、小船是静止的.(2)如图所示,设表示水流的速度,表示小船实际过河的速度.设MCMA,|=|=10,CMN=30,因为+=,所以四边形MANB为菱形,在MNB中,|=|=10,所以BMN=60,而CMN=30,所以CMB=30,所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30.能力提升9.(2018宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示(B)(A)向东南航行6 km(B)向东南航行3 km(C)向东北航行3 km(D)向东北航行6 km解析:设=a,=b,则OA=OB=3,OAOB,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可
5、知=a+b.因为OAOB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形,所以OC方向为东南方向.因为OA=OB=3,所以OC=3.故选B.10.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(B)(A)菱形 (B)矩形(C)正方形(D)不确定解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以+=,+=.又|+|=|+|,所以|=|.所以平行四边形ABCD为矩形.11.设P为ABCD所在平面内一点,则+=+;+=+;+=+中成立的序号为.解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O,则
6、O与O重合,所以+=+.答案:12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.证明:=+,=+,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.因为FD=BE,且与的方向相同,所以=.所以+=+,即=,所以AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.探究创新13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:+=0.证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出=+,易知四边形OBEC为菱形.所以OE平分BOC.由正三角形性质得AOC=BOC=120,所以EOC=60,所以AOE=180,所以A,O,E三点共线.|=|=|=|,所以+=0,所以+=+=0.故+=0成立.
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