2022版人教A版高中数学必修四导练课时作业：2.2.1-向量加法运算及其几何意义-Word版含解析.doc

2.2　平面向量的线性运算
2.2.1　向量加法运算及其几何意义

选题明细表
知识点、方法
题号
向量的加法运算
1,2,3,4
向量加法与平面几何的综合应用
5,6,7,10,11,12,13
向量加法的实际应用
8,9
基础巩固
1.如图所示,在▱ABCD中,++等于(　A　)

(A)
(B)
(C)
(D)
解析:++=++=+0=.故选A.
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　C　)

(A) (B) (C) (D)
解析:在原图上取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.

3.下列说法正确的是(　B　)
(A)0+0=0
(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a
(C)对任意a,b都有|a+b|>0
(D)等式|a+b|=|a|+|b|不可能成立
解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|≥0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B.
4.下列向量的运算结果为零向量的是(　D　)
(A)+ (B)++
(C)+++ (D)+++
解析:A项,+=+=;B项,++=++=;C项,+ ++=(++)+=0+=;D项,+++=(+)+ (+)=+=0.
5.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于(　D　)
(A)△ABC的AB边上 (B)△ABC的BC边上
(C)△ABC的内部 (D)△ABC的外部
解析:如图,+=,则P在△ABC的外部.

6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=　　　　. 

解析:因为++=++=,
所以|++|=||=2.
答案:2
7.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为的是　　　　.
(1)++;(2)++;
(3)++;(4)++.
解析:在(1)中++=+=;在(2)中++=+=;在(3)中++=+=;在(4)中++=+=+=.
答案:(3)
8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h.
(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?
(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30°处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)
解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20 km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为 0 km/h,此时小船是静止的.
(2)如图所示,设表示水流的速度,表示小船实际过河的速度.设MC⊥MA,||=||=10,∠CMN=30°,

因为+=,
所以四边形MANB为菱形,
在△MNB中,||=||=10,
所以∠BMN=60°,而∠CMN=30°,所以∠CMB=30°,
所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.
能力提升
9.(2018·宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示(　B　)
(A)向东南航行6 km (B)向东南航行3 km
(C)向东北航行3 km (D)向东北航行6 km
解析:设=a,=b,则OA=OB=3,OA⊥OB,

以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可知=a+b.
因为OA⊥OB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形,
所以OC方向为东南方向.
因为OA=OB=3,所以OC=3.故选B.
10.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(　B　)
(A)菱形 (B)矩形
(C)正方形 (D)不确定
解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以+=,+=.又|+|=|+|,
所以||=||.
所以平行四边形ABCD为矩形.
11.设P为▱ABCD所在平面内一点,则①+=+;②+=+;③+=+中成立的序号为　　　　. 
解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O′,则O与O′重合,所以+=+.
答案:②
12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.

求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:=+,=+,
因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.
因为FD=BE,且与的方向相同,所以=.所以+=+,即=,所以AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.
探究创新
13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:++=0.
证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出=+,易知四边形OBEC为菱形.

所以OE平分∠BOC.由正三角形性质得
∠AOC=∠BOC=120°,
所以∠EOC=60°,
所以∠AOE=180°,
所以A,O,E三点共线.
||=||=||=||,
所以+=0,所以++=+=0.
故++=0成立.