1、2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科数学第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,则等于()2a=1”是“直线和直线互相垂直”的()条件充分而不必要条件 必要而不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件3设是等差数列,若,则数列前8项和为()1288064564函数,若,则的值为()30 -1-25某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是() 6如图,在长方体中,分别为,则与平面所成的角的正弦值为()7函数的图像向左平移个单位后,得到函数的图像,则的解析
2、式为()8在ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若,则角B的值为() 或或9某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()14 24 28 4810若实数x,y满足 ,则的取值范围是() 11如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是()12双曲线的两个焦点为,若P为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为()第卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在答题卡的相应位置13. 展开式中的系数是 (用数字作答)14.若直线与圆没有公共点,则实数m的取值范围是 15.若三棱锥的三条侧棱
3、两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 16.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意,都有(除数),则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域,有下列命题:数域必含有0,1两个数;整数集是数域;若有理数集,则数集M必为数域;数域必为无限域。其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知向量且。(1)求的值;(2)求函数的值域。18. (本小题满分12分)三人独立破译同一份密码,已知三人各自译出密码的概率分别为,且他们是否破译出密码互不影响。(1)求恰有二人破译出密码的概率;(2
4、)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由。19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。(1)求证:PO平面ABCD;(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(3)求点A到平面PCD的距离20. (本小题满分12分)已知是正整数组成的数列,且点在函数的图像上:(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求证:21. (本小题满分12分)已知函数的图像过点(-1,-6),且函数的图像关于y轴对称。(1)求m,n的值及函数的单调区间;(2)若
5、a0,求函数在区间内的极值。22. (本小题满分14分)如图,椭圆C:的一个焦点为F(1,0)且过点(2,0)。(1)求椭圆C的方程;(2)若AB为垂直与x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于N,直线AF与BN交于点M.求证:点M恒在椭圆C上;求AMN面积的最大值。2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科数学参考答案一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算,每小题5分,满分60分1A23C4B5C6D7A8A9A10D11A12B二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算每小题4分,满分16分13. 84 14. 15. 16. 三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明,
6、证明过程或演算步骤17本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力。满分12分。解:(1)由题意得,因为cosA0,所以tanA=2(2)由(1)知tanA=2得 当,有最大值;当,有最小值。所以所求函数的值域为18.解:记“第i个人破译出密码”为事件,依题意有且A1,A2,A3相互独立。(1) 设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有:BA1A2A1A3+A2A3且A1A2,A1A3,A2A3彼此互斥于是P(B)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3).(2)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件D,则有: D
7、,且,互相独立,则有P(D)P()P()P().而P(C)1-P(D),故P(C)P(D).所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大19.解:解法一:()证明:在PAD中PAPD,O为AD中点,所以POAD.又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO 平面PAD,所以PO平面ABCD.()连结BO,在直角梯形ABCD中,BCAD, AD=2AB=2BC,有ODBC且ODBC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OBDC.由()知POOB,PBO为锐角,所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD2AB2BC2,在RtAOB中,AB1,AO1,所以OB,在RtPOA中,因为
8、AP,AO1,所以OP1,在RtPBO中,PB,cosPBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.()由()得CDOB,在RtPOC中,PC,所以PCCDDP,SPCD=2=.又S=设点A到平面PCD的距离h,由VP-ACD=VA-PCD,得SACDOPSPCDh,即11h,解得h.解法二:()同解法一,()以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以(-1,1,0),(t,-1,-1),cos、=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,()设
9、平面PCD的法向量为n(x0,y0,x0),由()知=(-1,0,1),(-1,1,0),则n0,所以-x0+ z0=0,n0,-x0+ y0=0,即x0=y0=z0,取x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d20.解:解法一:()由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)1=n.()由()知:an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bnbn+
10、2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-52n+42n=-2n0,所以bnbn+2b,解法二:()同解法一.()因为b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1bn-1-2nbn+1-2n2n+12n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=2n(b1-2)=-2n0,所以bn-bn+2得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是(,0),(2,);由f(x)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).()由()得f(x)3x(
11、x-2),令f(x)0得x=0或x=2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:X(-.0)0(0,2)2(2,+ )f(x)+00f(x)极大值极小值由此可得:当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(O)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)6,无极大值;当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得:当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值,当1a3时,f(x)有极小值6,无极大值;当a=1或a3时,f(x)无极值.22.解:(1)由题设a=2,c=1,从而:所以椭圆C的方
12、程为:(2)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n0),=1. AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0,n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, n(x0-4)+(m-4)y0=0, 由,得x0=.所以点M恒在椭圆G上.()设AM的方程为x=ty+1,代入1得(3t2+4)y2+6ty-9=0.设A(x1,y1),M(x2,y2),则有:y1+y2=|y1-y2|=令3t2+4=(4),则|y1-y2|因为4,0|y1-y2|有最大值3,此时AM过点F.AMN的面积SAMN=解法二:()同解法一:()()由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n0), AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由,得:当x. 由代入,得=1(y0).当x=时,由,得:解得与a0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.()同解法一.
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