2022江西省中考数学.docx

2022年江西省中考数学
(总分值120分，时间120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每题3分，共18分．每题只有一个正确选项)
1．(2022江西省　1，3分)以下四个数中，最小的数是(　　)
A．－　　B．0　　C．－2　　D．2
【答案】C
2．(2022江西省　2，3分)某市6月份某周气温(单位：℃)为23，25，28，25，28，31，28，那么这组数据的众数和中位数分别是(　　)
A．25，25　　B．28，28　　C．25，28　　D．28，31
【答案】B
3．(2022江西省　3，3分)以下运算正确的选项是(　　)
A．a2＋a3＝a5　B．(－2a2)3＝－6a6
C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1　　D．(2a3－a2)÷a2＝2a－1
【答案】D
4．(2022江西省　4，3分)直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限，那么a的取值可以是(　　)
A．－1　　B．0　　C．1　　D．2
【答案】D
5．(2022江西省　5，3分)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好适宜．以下裁剪示意图中，正确的选项是(　　)
(第5题)
A． B． C． D．

【答案】A
6．(2022江西省　63分)反比例函数y＝的图象如下列图，那么二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为(　　)
O
x
y
－1
1
(第6题)
y
O
1
x
－1
y
O
1
x
－1
y
O
1
x
1
y
O
1
x
－1
A． B． C． D．

【答案】D
二、填空题(本大题共8小题，每题3分，共24分)
7．(2022江西省　7，3分)计算：＝______．
【答案】3
8．(2022江西省　8，3分)据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法表示为______．
【答案】5.78×104
9．(2022江西省　9，3分)不等式组的解集是______．
【答案】x＞
10．(2022江西省　10，3分)假设α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，那么α2＋β2______．
【答案】10
11．(2022江西省　11，3分)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，那么△A′B′C的周长为______．12
A
B
C
A′
B′
C′
(第11题)

【答案】12
12．(2022江西省　12，3分)如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，那么∠BAC的度数为______．
A
B
C
O
(第12题)

【答案】60°
13．(2022江西省　13，3分)如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．假设∠BAD＝60°，AB＝2，那么图中阴影局部的面积为______．
(第13题)
O
A
B
C
D

【答案】12－4
14．(2022江西省　14，3分)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．假设点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，那么CP的长为______．
【答案】2，4，6
三、(本大题共4小题，每题6分，共24分)
15．(2022江西省　15，6分)计算：(－)÷．
【答案】解：(－)÷
＝· 4分
＝x－1． 6分
16．(2022江西省　16，6分)小锦和小丽购置了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每去中性笔和生盒笔芯的价格．
【答案】解：设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意得
3分
解这个方程组，得
答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．6分
17．(2022江西省　17，6分)梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．
(1)在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
(2)在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
A
B
C
D
A
B
C
D
图1 图2
(第#题)

【答案】解：(1)如图1所示，△CDE即为所求(答案不唯一)． 3分
(1)如图2所示，平行四边形ABFE即为所求(答案不唯一)． 6分
A
B
C
D
E
图1
A
B
C
D
E
F
图2

18．(2022江西省　18，6分)有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√〞，B组的卡片上分别画上“√，×，×〞，如图1所示．
(1)假设将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√〞的概率(请用“树形图法〞或“列表法〞求解)．
(2)假设把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①假设随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√〞的概率是多少
②假设揭开盖子，看到的卡片下面标记是“√〞后，猜想它的反面也是“√〞，求猜对的概率．
√
×
√
A组
√
×
×
B组
√
×
√
正面

√
×
×
反面
①
②
③
图1 图2
(第18题)

【答案】解：(1)解法一：根据题意可画出如下树形图：
√
√
×
×
A组
B组
×
√
×
×
√
√
×
×

从树形图可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√〞的结果有2种．
∴P(两张都是“√〞)＝． 4分
解法二：根据题意，可列表如下：
B组
A组
√
×
×
√
(√，√)
(√，×)
(√，×)
×
(×，√)
(×，×)
(×，×)
√
(√，√)
(√，×)
(√，×)
从上表可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√〞的结果有2种．
∴P(两张都是“√〞)＝． 4分
(2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√〞，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√〞的概率为． 5分
②∵正面标记为“√〞的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√〞和“×〞．
∴猜对反面也是“√〞的概率为． 6分
四、(本大题共3小题，每题8分，共24分)
19．(2022江西省　19，8分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，AB＝5．点D在反比例函数y＝(k0)的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP＝7．
(1)求点B的坐标及线段PB的长；
(2)当∠PDB＝90°时，求反比例函数的解析式．
x
O
y
A
D
B
P
(第19题)
x
O
y
A
D
B
E
P
图3

【答案】解：(1)在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，
∴OB＝＝＝3．
∴点B的坐标为(0，3)． 2分
∵OP＝7，
∴PB＝OB＋OP＝3＋7＝10． 3分
(2)如图3，过点D作DE⊥OB，垂足为E，由DA⊥OA可得矩形OADE．
∴DE＝OA＝4，∠BED＝90°．
∴∠BDE＋∠EBD＝90°．
又∵∠BDP＝90°，
∴∠BDE＋EDP＝90°．
∴∠EBO＝∠EDP．
∴△BED∽△DEP． 4分
∴＝．设点D(4，m)，由k＞0，得m＞0，
那么有OE＝AD＝m，BE＝3－m，EP＝m＋7，
∴＝．
解得m1＝1，m2＝－5(不合题意，舍去)． 6分
∴m＝1，点D的坐标为(4，1)．
∴k＝4，反比例函数的解析式为y＝． 8分
20．(2022江西省　20，8分)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校局部初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答以下问题：
重视
一般
不重视
说不清楚
类别
人数
57
9
10
30
40
50
60
20
0
某校初中生阅读数学教科书情况统计图表
重视
一般
不重视
说不清楚
a
57
b
9
0.3
0.38
c
0.06
类别
人数
占总人
数比例

(1)求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
(2)假设该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书〞的初中生人数；
(3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样
【答案】解：(1)由统计表可知，样本容量为57÷0.38＝150．
∴a＝150×0.3＝45，
c＝1－0.3－0.38－0.06＝0.26，
b＝150×0.26＝39． 2分
补全统计图如图4所示． 4分
重视
一般
不重视
说不清楚
类别
人数
45
57
39
9
10
30
40
50
60
20
0
图4

(2)2300×0.26＝598，
∴可估计该校“不重视阅读数学教科书〞的初中生人数约为598人． 6分
(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看，该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够，建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书，逐步提高学生数学阅读能力，重视数学教材在数学学习过程中的作用；
②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性，要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校． 8分
(只要给出合理建议即可给分)
21．(2022江西省　21，8分)图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．
(1)连接CE，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
(2)求A，B两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)．
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
图1
A
C
30°
30°
30°
E
B
D
图2
(第21题)

【答案】解：(1)CD∥EB．
证明：连接AC，DE．
∵四边形AGCH是菱形，且∠GCH＝60°，
∴∠1＝∠GCH＝30°．
同理∠2＝30°．
∴∠ACD＝90°． 2分
同理可得∠CDE＝∠DEB＝90°．
∴CD∥EB． 3分
(2)方法一：
如图5，连接AD，BD．
由(1)知∠ACD＝90°．
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝45°．
同理∠EDB＝∠EBD＝45°，又由(1)知∠CDE＝90°．
∴∠CDA＋∠CDE＋∠EDB＝180°，
即点A，DB在同一直线上． 4分
连接GH交AC于点M．
由菱形的性质可知∠CMH＝90°，CM＝AC．
在Rt△CMH中，CM＝CH·cos∠1＝10·cos30°＝5，
∴CD＝AC＝2CM＝10． 6分
∴在Rt△ACD中，AD＝＝10． 7分
同理BD＝10．
∴AB＝AD＋DB＝20≈20×2.45＝49．
答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分
H
G
C
M
1
2
30°
30°
30°
E
B
D
图5
A
H
G
C
M
1
2
30°
30°
30°
E
B
D
F
图6
A

方法二：如图6，连接AB，延长AC交BE的延长线于点F．
由(1)知∠ACD＝∠CDE＝∠DEB＝90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∵四个菱形全等，
∴AC＝CD＝DE＝EB．
∴四边形CDEF是正方形． 4分
∴CF＝FE＝CD且∠F＝90°．
∴AF＝BF＝2AC． 5分
在菱形AGCH中，连接GH交AC于点M，
∴AC⊥GH．
在Rt△CMH中，CM＝CH·cos∠1＝10·cos30°＝5， 6分
∴AC＝2CM＝10，AF＝BF＝2AC＝20． 7分
∴在Rt△AFB中，AB＝＝20≈20×2.45＝49．
答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分
五、(本大题共2小题，每题9分，共18分)
22．(2022江西省　22，9分)如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半局部的一个动点，连接OP，CP．
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
A
O
B
C
P
A
O
B
C
P
D
图1 图2
(第22题)
A
O
B
C
P
D
图7

【答案】解：(1)∵△OPC的边长OC的是定值，
∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大． 1分
∵AB＝4，BC＝2，
∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4．
∴S△OPC＝OC·OP＝×4×2＝4．
即△OPC的最大面积为4． 2分
(2)当PC与⊙O相切即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大． 3分
在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∴sin∠OCP＝＝．
∴∠OCP＝30°． 5分
(3)连接AP，BP．如图7，
∵∠AOP＝∠DOP，
∴AP＝DB． 6分
∵CP＝DB，
∴AP＝PC．
∴∠A＝∠C．
∵∠A＝∠D，
∴∠C＝∠D． 7分
∵OC＝PD＝4，PC＝DB，
∴△OPC≌△PBD．
∴∠OPC＝∠PBD． 8分
∵PD是⊙O的直径，
∴∠PBD＝90°．
∴∠OPC＝90°．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴CP是⊙O的切线． 9分
23．(2022江西省　23，9分)如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
A
B
F
C
D
G
H
E
A
B
F
C
D
E
A
B
F
C
D
E
图1 图2 备用图
(第23题)

(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为________，求此时线段EF的长；
(2)假设经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为________，此时此刻AE与BF的数量关系是________；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
【答案】解：(1)等边三角形；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
∵DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF．
∴AE＝CF．
∴BE＝BF．
∴△BEF是等腰直角三角形．
设EF长为x，那么BE＝x，
∴AE＝4－x．
∵在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，DE＝EF，
∴x2＝42＋(4－x)2．
∴x2＋8x－64＝0． 2分
解得x1＝－4＋4，x2＝－4－4(不合题意，舍去)．
∴EF＝－4＋4． 3分
(2)①正方形(如图8)；AE＝BF； 5分
A
B
F
C
D
G
H
E
图8

②∵AE＝x，
BE＝4－x．
∵在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，
∴y＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16(0＜x＜4)． 7分
∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，
∴当x＝2时，y取得最小值；当x＝0时，y＝16．
∴y的取值范围是8≤y＜16． 9分
六、(本大题共12分)
24．(2022江西省　24，12分)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，假设△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的局部与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离为碟高．
(1)抛物线y＝x2对应的碟宽为______；抛物线y＝4x2对应的碟宽为__抛物线y＝ax2(a＞0)对应的碟宽为______；抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)对应的碟宽为______；
(2)假设抛物线y＝ax2－4ax－(a＞0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
(3)将抛物线yn＝anx2＋nbx＋cn(an＞0)的对应准碟形记为Fn(n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…，Fn为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．假设Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准碟形记为F1．
①求抛物线y2的表达式；
②假设F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…，Fn的碟高为hn，那么hn＝______，Fn的碟宽右端点横坐标为______；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上假设是，直接写出该直线的表达式；假设不是，请说明理由．
x
O
y
A
B
M
准碟形AMB
图1 备用图
(第#题)
x
O
y
A
B
y＝m
M

【答案】解：(1)4，，，； 4分(每空1分)
(2)解法一：
由(1)可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的准碟形碟宽为，
所以＝6，a＝． 6分
解法二：
由y＝ax2－4ax－＝a(x－2)2－4a－，又碟宽在x轴上，
所以碟高|－4a－|＝＝3，又a＞0，解得a＝． 6分
(3)①由(2)知，y1＝(x－2)2－3，碟顶M1的坐标为(2，－3)．
∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点，
∴F2的碟顶M2的坐标为(2，0)，可设y2＝a2(x－2)2．
∵F2与F1的相似比为，F1的碟宽为6，
∴F2的碟宽为6×＝3，即＝3，a2＝．
∴y2＝(x－2)2＝x2－x＋． 8分
②；2＋； 10分
F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是在一条直线上，该直线的表达式为y＝－x＋5． 12分