2022年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷.docx

2022年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔3分〕集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，那么〔　　〕
A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}
C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}
2．〔3分〕复数，其中i是虚数单位，那么|z|=〔　　〕
A．2 B．1 C． D．
3．〔3分〕在△ABC中，“A＞B〞是“〞的〔　　〕 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．〔3分〕l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，那么〔　　〕
A．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β B．假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么l⊥α
C．假设α∩β=l，m⊂α，m⊥l，那么m⊥β D．假设m∥n，m⊂α，那么n∥α
5．〔3分〕如图1对应函数f〔x〕，那么在以下给出的四个函数中，图2对应的函数只能是〔　　〕
A．y=f〔|x|〕 B．y=|f〔x〕| C．y=f〔﹣|x|〕 D．y=﹣f〔|x|〕
6．〔3分〕实数x，y满足约束条件那么的取值范围是〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔3分〕假设有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，那么不同的分法数是〔　　〕
A．120 B．150 C．240 D．300
8．〔3分〕现函数f〔x〕=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，假设有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f〔xn﹣1〕﹣f〔xn〕|≤M，那么M的最小值为〔　　〕
A．3 B．4 C．5 D．6
9．〔3分〕A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，假设，那么=〔　　〕
A． B． C． D．
10．〔3分〕正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，那么平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为〔　　〕
A． B． C．或 D．或
二、填空题〔共7小题，每题3分，总分值21分〕
11．〔3分〕角α的终边与单位圆的交点坐标为，那么sinα=，tanα=．
12．〔3分〕假设随机变量ξ的分布列为：
ξ
﹣1
0
1
2
P
x

y
假设，那么x+y=，D〔ξ〕=．
13．〔3分〕如图为某四棱锥的三视图，那么该几何体的体积为，外表积为．
14．〔3分〕等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．假设a3•a11=4a7，且b7=a7，那么a7=，T13=．
15．〔3分〕假设的展开式中常数项为60，那么实数a的值是．
16．〔3分〕过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，假设，那么双曲线的离线率为．
17．〔3分〕函数f〔x〕=，假设方程f〔x〕=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，那么的取值范围是．
三、解答题〔共5小题，总分值74分〕
18．〔14分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．c2=a2+b2+ab．
〔1〕求角C的大小；
〔2〕假设，求△ABC的面积．
19．〔15分〕如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．
〔1〕求证：BD⊥平面AEC；
〔2〕求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．
20．〔15分〕函数．
〔1〕当a=1时，求f〔x〕的单调区间；
〔2〕记f〔x〕在[﹣1，1]上的最小值为g〔a〕，求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．
21．〔15分〕椭圆．
〔1〕假设椭圆C的一个焦点为〔1，0〕，且点在C上，求椭圆C的标准方程；
〔2〕椭圆C上有两个动点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值〔用a，b表示〕．
22．〔15分〕正项数列{an}满足a1=2，且．
〔1〕求证：1＜an+1＜an；
〔2〕记，求证：．
2022年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔3分〕集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，那么〔　　〕
A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}
C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}
【解答】解：由≤0，得
或，
解得﹣1≤x＜3，
故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．
应选：D．
2．〔3分〕复数，其中i是虚数单位，那么|z|=〔　　〕
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：∵=，
∴|z|=．
应选：B．
3．〔3分〕在△ABC中，“A＞B〞是“〞的〔　　〕 条件．

A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解答】解：∵在三角形中，＞0，
∴sin2＞sin2，
∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，
∴cosA＜cosB，那么A＞B，
即，“A＞B〞是“〞的充要条件，
应选：C
4．〔3分〕l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，那么〔　　〕
A．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β B．假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么l⊥α
C．假设α∩β=l，m⊂α，m⊥l，那么m⊥β D．假设m∥n，m⊂α，那么n∥α
【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知：
在A中，假设m⊥α，m⊥β，那么由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；
在B中，假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；
在C中，假设α∩β=l，m⊂α，m⊥l，那么m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；
在D中，假设m∥n，m⊂α，那么n∥α或n⊂α，故D错误．
应选：A．
5．〔3分〕如图1对应函数f〔x〕，那么在以下给出的四个函数中，图2对应的函数只能是〔　　〕
A．y=f〔|x|〕 B．y=|f〔x〕| C．y=f〔﹣|x|〕 D．y=﹣f〔|x|〕
【解答】解：由图〔2〕知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，
且当x＞0时对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，
而y轴左侧图象与〔1〕中的图象对应的函数y=f 〔x〕的图象相同，
故当x＞0时，对应的函数是y=f〔﹣x〕，得出A，D不正确．
应选：C
6．〔3分〕实数x，y满足约束条件那么的取值范围是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如下列图的阴影局部．
那么的取值范围是斜率k的取值范围，且kPC≤k或k≤kPA．
解得A〔0，1〕，
解得C〔，﹣〕
而kPA==﹣2，kPC==．
∴k或k≤﹣2，
应选：A．
7．〔3分〕假设有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，那么不同的分法数是〔　　〕
A．120 B．150 C．240 D．300
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将5本不同的书分成3组，
假设分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；
假设分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；
那么有15+10=25种分组方法；
②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，
那么有25×6=150种不同的分法；
应选：B．
8．〔3分〕现函数f〔x〕=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，假设有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f〔xn﹣1〕﹣f〔xn〕|≤M，那么M的最小值为〔　　〕
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数f〔x〕=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，
∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，
∴f〔1〕=﹣2，f〔2〕=﹣3，f〔4〕=1，
∴|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f〔xn﹣1〕﹣f〔xn〕|≤|f〔1〕﹣f〔2〕|+|f〔4〕﹣f〔2〕|=1+4=5，
∴M≥5，
应选：C
9．〔3分〕A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，假设，那么=〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．
由⇒5+13=﹣12，那么25+169+130=144，⇒，
由⇒12+13=﹣5，
那么144+169+2×=25⇒，
那么==﹣+=﹣．
应选：B
10．〔3分〕正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，那么平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为〔　　〕
A． B． C．或 D．或
【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，
连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，
在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，
∴cos，那么sin．
设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，
当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，
那么cosθ=cos〔α﹣60°〕=cosαcos60°+sinαsin60°=；
当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，
那么cosθ=cos[180°﹣〔α+60°〕]=﹣cos〔α+60°〕
=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣〔〕=．
∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．
应选：A．
二、填空题〔共7小题，每题3分，总分值21分〕
11．〔3分〕角α的终边与单位圆的交点坐标为，那么sinα=，tanα=　﹣．
【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为，那么 x=﹣，y=，r=|OP|=1，
∴sinα==，tanα==﹣，
故答案为：，﹣．
12．〔3分〕假设随机变量ξ的分布列为：
ξ
﹣1
0
1
2
P
x

y
假设，那么x+y=，D〔ξ〕=．
【解答】解：∵，
∴由随机变量ξ的分布列，知：，
∴x+y=，x=，y=，
D〔ξ〕=〔﹣1﹣〕2×+〔0﹣〕2×+〔1﹣〕2×+〔2﹣〕2×=．
故答案为：，．
13．〔3分〕如图为某四棱锥的三视图，那么该几何体的体积为，外表积为　4+4．
【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如下列图：
其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，
EA==2．
∴棱锥的体积V==．
棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，
∴棱锥的外表积S=22+4×=4+4．
故答案为：；4+4．
14．〔3分〕等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．假设a3•a11=4a7，且b7=a7，那么a7=　4　，T13=　52　．
【解答】解：因为{an}为等比数列，且a3•a11═4a7，
由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，
因为{bn}为等差数列，且b7═a7═4，
所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×〔b1+b13〕×=13××2b7=13b7=13×4=52
故答案为a7=4，T13=52．
15．〔3分〕假设的展开式中常数项为60，那么实数a的值是±2　．
【解答】解：的展开式的通项=．
由，可得〔舍〕，由6﹣=0，得r=4．
∴的展开式中常数项为==60，解得a=±2．
故答案为：±2．
16．〔3分〕过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，假设，那么双曲线的离线率为．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
设双曲线上的P〔m，n〕，那么﹣=1．①
联立，解得x=，
取A〔，n〕，
同理可得B〔﹣，n〕．
=〔﹣m，0〕，=〔﹣﹣m，0〕，
由•=﹣，
可得〔﹣m〕〔﹣﹣m〕=﹣，
化为m2﹣n2=﹣，②
由①②可得=，
那么e====．
故答案为：．
17．〔3分〕函数f〔x〕=，假设方程f〔x〕=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，那么的取值范围是[，]．
【解答】解：作函数f〔x〕=的图象如右，
由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；
故=x3+=+x4，1＜x4≤2；
由y=+x4在〔1，]递减，〔，2]递增．
故x4=取得最小值，且为2=，
当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．
即有取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
三、解答题〔共5小题，总分值74分〕
18．〔14分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．c2=a2+b2+ab．
〔1〕求角C的大小；
〔2〕假设，求△ABC的面积．
【解答】解：〔1〕由余弦定理可知：cosC==﹣，
由0＜C＜π，那么C=；
〔2〕由sinA=，由C=，那么A为锐角，
∴cosA==，
sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×〔﹣〕+×=，
由正弦定理可知：=，那么a===，
那么△ABC的面积S=×absinC=×2××=，
∴△ABC的面积为．
19．〔15分〕如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DEBE=1，AC=，M为AE的中点．
〔1〕求证：BD⊥平面AEC；
〔2〕求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．
【解答】证明：〔1〕连结EC，BD，交于点O，
∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，
∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，
∴BD⊥AC，
∵EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC．
解：〔2〕∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，
BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．
∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∴BO=，EO=，CO=，

∴E〔0，﹣，0〕，A〔0，，〕，
M〔0，，〕，B〔，0，0〕，
=〔，﹣，﹣〕，平面AEC的法向量=〔1，0，0〕，
设直线MB与平面AEC所成角为θ，
sinθ===．
∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．
20．〔15分〕函数．
〔1〕当a=1时，求f〔x〕的单调区间；
〔2〕记f〔x〕在[﹣1，1]上的最小值为g〔a〕，求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．
【解答】解：〔1〕f〔x〕=x3+|x﹣1|，
当x≥1时，f〔x〕=x3+x﹣1的导数为f′〔x〕=x2+1＞0，
可得f〔x〕递增；
当x＜1时，f〔x〕=x3+1﹣x的导数为f′〔x〕=x2﹣1，
由f′〔x〕＞0，可得x＜﹣1；由f′〔x〕＜0，解得﹣1＜x＜1．
综上可得，f〔x〕的增区间为〔1，+∞〕，〔﹣∞，﹣1〕；
减区间为〔﹣1，1〕；
〔2〕证明：当0＜a＜1时，f〔x〕在[﹣1，a〕递减，在〔a，1]递增，
可得f〔x〕的最小值为g〔a〕=f〔a〕=a3+1﹣a；
f〔x〕的最大值为f〔﹣1〕或f〔1〕，
由f〔﹣1〕﹣g〔a〕﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；
又f〔1〕﹣g〔a〕﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；
当a≥1时，f〔x〕在[﹣1，1]递减，
可得f〔x〕的最小值为g〔a〕=f〔1〕=+a﹣1=a﹣，

最大值为f〔﹣1〕=a+，
那么a+≤a﹣+恒成立．
综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．
21．〔15分〕椭圆．
〔1〕假设椭圆C的一个焦点为〔1，0〕，且点在C上，求椭圆C的标准方程；
〔2〕椭圆C上有两个动点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值〔用a，b表示〕．
【解答】解：〔1〕由题意可知：椭圆的左焦点F1〔﹣1，0〕，右焦点F2〔1，0〕，
那么|PF1|+|PF2|=2a，那么+=+=4=2a，
那么a=2，b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆C的标准方程为；
〔2〕以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
那么椭圆的极坐标方程为ρ2〔b2cos2θ+a2sin2θ〕=a2b2，
设A〔ρ1，θ〕，B〔ρ2，θ+〕，
那么|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，
=[〔b2cos2θ+a2sin2θ〕+〔b2sin2θ+a2cos2θ〕]〔+〕
=〔2++〕≥，
∴|AB|的最小值为．
22．〔15分〕正项数列{an}满足a1=2，且．
〔1〕求证：1＜an+1＜an；
〔2〕记，求证：．
【解答】证明：〔1〕∵a1=2＞1，成立，
假设ak＞1成立，那么有2ak﹣1＞1成立，即成立，
即ak+1＞1，
an﹣an﹣1===＞0，
∴an＞an+1，
∴1＜an+1＜an．
〔2〕=
=
=
=〔an﹣an+1〕•﹣〔〕，
∵=＜，
＞2〔〕，
∴原式＜2〔an﹣an+1〕﹣3〔〕+2〔〕
＜
=3[〔〕﹣〔〕]，
∴b1+b2+b3+…+bn＜3[〔〕﹣〔〕+〔〕﹣〔〕+…+〔〕﹣〔〕
=3[]
＜3〔〕
=3〔2﹣〕=6﹣3，
∴．