2022年高考数学(理)试题分项版解析专题12概率与统计.docx

2022年高考数学〔理〕试题分项版解析专题12 概率与统计
1.【2022高考广东卷理第6题】某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为〔 〕
A.， B.， C.， D.，
2.【2022高考湖北卷理第4题】根据如下样本数据

3
4
5
6
7
8

4.0
2.5

0.5

得到的回归方程为，那么〔 〕
A. , B. , C. , D. ,
3.【2022高考湖北卷理第7题】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，那么该点恰好在内的概率为〔 〕
A. B. C. D.
4.【2022高考湖南卷第2题】对一个容量为的总体抽取容量为的样本，中选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，那么〔 〕
A. B. C. D.
5. 【2022高考福建卷第14题】如图，在边长为〔为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，那么他落到阴影局部的概率为______.
6.【2022高考广东卷理第11题】从、、、、、、、、、中任取七个不同的数，那么这七个数的中位数是的概率为.
7.【2022高考江苏卷第4题】从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，那么所取两个数的乘积为6的概率为.
8.【2022高考江苏卷第6题】某种树木的底部周长的取值范围是，它的频率分布直方图如以下图，那么在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.
9.【2022江西高考理第6题】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是〔 〕
表1
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
A.成绩
表2
不及格
及格
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
B.视力
表3
不及格
及格
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
C.智商
表4
不及格
及格
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
D.阅读量
10.【2022江西高考理第13题】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，那么恰好取到1件次品的概率是________.
11.【2022辽宁高考理第14题】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如以下图，假设将一个质点随机投入正方形ABCD中，那么质点落在阴影区域的概率是.
12.【2022全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率为〔 〕
A． B． C． D．

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

A.6 B.8 C.12 D.18
15.【2022浙江高考理第9题】甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.
〔a〕放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
〔b〕放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.
那么
A. B.
C. D.
，由上面比较可知，应选Ｃ
考点：独立事件的概率,数学期望.
16.【2022浙江高考理第12题】随机变量的取值为0,1,2，假设，，那么________.
17.【2022重庆高考理第3题】变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，那么由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
18.【2022陕西高考理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕
【答案】
【解析】
试题分析：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有条线段，
19.【2022陕西高考理第9题】设样本数据的均值和方差分别为1和4，假设〔为非零常数， 〕，那么的均值和方差分别为〔 〕
（A） 〔B〕 〔C〕 〔D〕
考点：均值和方差.
20.【2022天津高考理第9题】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，那么应从一年级本科生中抽取_______名学生．
21.【2022高考安徽卷第17题】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，那么判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛的概率；
(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值〔数学期望〕.
试题解析：用表示“甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛〞，表示“第局甲获胜〞，表示“第局乙获胜〞.那么，.
.
22.【2022高考北京理第16题】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下〔假设各场比赛相互独立〕：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
〔1〕从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
〔2〕从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
〔3〕记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小〔只需写出结论〕
〔3〕.
考点：概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率.
23.【2022高考大纲理第20题】
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.
〔I〕求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
〔II〕X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
24.【2022高考福建理第18题】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额.
〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球
的面值给出一个适宜的设计，并说明理由.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案25.【2022高考广东理第17题】随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数〔单位：件〕，获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率

〔1〕确定样本频率分布表中、、和的值；
〔2〕根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
〔3〕根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.
【答案】〔1〕，，，；〔2〕详见解析；〔3〕.
【解析〔1〕由题意知，，，；
〔2〕样本频率分布直方图为：

〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:
年入流量

发电量最多可运行台数
1
2
3
假设某台发电机运行，那么该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，那么该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台
所以.
③安装3台发电机.
27.【2022高考湖南理第17题】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)假设新产品研发成功,预计企业可获得万元,假设新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
数学期望.
28.【2022高考江苏第22题】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
〔1〕从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；
〔2〕从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.
【答案】〔1〕；〔2〕.
【解析】
试题分析：〔1〕从9个球中抽2个球共有种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为，概率为；〔2〕首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此的可能值为，，说明抽出的4个球都是红球，，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求时，可用来求．
29.【2022高考江西理第21题】随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记
（1） 当时，求的分布列和数学期望；
（2） 令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；
（3） 对〔2〕中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。
【答案】〔1〕

2
3
4
5
P

〔2〕当时，，当时
〔3〕当时，当时，
和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
所以当时，
当时
30.【2022高考辽宁理第18题】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如以下图：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
〔1〕求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
〔2〕用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D〔X〕=3×0.6×〔1-0.6〕=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
31.【2022高考全国1第18题】 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如以下图频率分布直方图：
〔I〕求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差〔同一组的数据用该组区间的中点值作代表〕；
〔II〕由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
〔i〕利用该正态分布，求；
〔ii〕某用户从该企业购置了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用〔i〕的结果，求.
附：
假设那么，。
试题分析：〔I〕抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
32.【2022高考全国2第19题】某地区2022年至2022年农村居民家庭纯收入y〔单位：千元〕的数据如下表：
年份
2022
2022
2022
2022
2022
2022
2022
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
〔Ⅰ〕求y关于t的线性回归方程；
〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕中的回归方程，分析2022年至2022年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
试题解析：〔Ⅰ〕由题意知，，，所以=，
所以==，所以线性回归方程为。
33.【2022高考山东卷第18题】乒乓球台面被球网分成甲、乙两局部，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
〔Ⅰ〕小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
〔Ⅱ〕两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
【答案】〔I〕小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
〔II〕机变量的分布列为：

数学期望
由事件的独立性和互斥性，
34.【2022高考陕西第19题】在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
〔1〕设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元
的概率.
〔2〕设表示事件“第季利润不少于2000元〞，
由题意知：相互独立，由〔1〕知
35.【2022高考上海理科第13题】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.假设=4.2，那么小白得5分的概率至少为.
36.【2022高考上海理科第10题】为强化平安意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，那么选择的3天恰好为连续3天的概率 是〔结构用最简分数表示〕.
37. 【2022高考四川第16题】一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分〔即获得分〕.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
〔1〕设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
〔2〕玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少
〔3〕玩过这款游戏的许多人都发现，假设干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
38.【2022高考天津第16题】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动〔每位同学被选到的可能性相同〕．
〔Ⅰ〕求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
〔Ⅱ〕设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕随机变量的分布列为

0
1
2
3

数学期望．
【解析】
39.【2022高考重庆理科第18题】 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字
是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
〔Ⅰ〕求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
〔Ⅱ〕表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.
〔注：假设三个数满足 ，那么称为这三个数的中位数〕.
【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕详见解析.
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕从9张卡片中任取3张，有和不同的结果,其中,3张卡片上的数字完全相同的有，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，故可根据古典概型的概率公式求得概率；