中国石油大学物理答案9章习题解答.doc

习题9
９—3.一轻弹簧在６0N得拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧得下端，并使之静止,再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：（1）　物体得振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体得拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它运动到上方5cｍ处所需要得最短时间.
［解］ (1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系
设振动方程为 　
时 　 　 　 　 　
故振动方程为　 　　 　
(2)设此时弹簧对物体作用力为Ｆ,则

其中 　　 　　　
因而有 　 　 　 　 　 　
（3）设第一次越过平衡位置时刻为，则

第一次运动到上方5cｍ处时刻为 ，则

故所需最短时间为:

９—4。一质量为M得物体在光滑水平面上作谐振动,振幅１2ｃｍ，在距平衡位置6cm处,速度为２4 cm×s-1，求:（1） 周期T；（2） 速度为１2 cｍ×s-１时得位移。
[解］　（1）　设振动方程为
以、、代入，得:

利用则

解得 　 　　　　　
(2） 以代入，得:

解得： 　 　　 　 　　 　
所以 　　 　　　　 　　 　
故 　 　　 　 　
习题9-5图
t/ s
0
2
-5
10
-10
x (cm)
９－５。一谐振动得振动曲线如图9—5所示，求振动方程.
[解]　设振动方程为: 　 　 　
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得： 　　 　 　

故振动方程为 　　　 　　
9-6。一质点沿x轴作简谐振动，其角频率w=10　raｄ×s-１，试分别写出以下两种初始状态得振动方程：(1）　其初始位移x０＝７．5 ｃｍ,初始速度ｖ０7５。0 ｃｍ×s—1;（2） 其初始位移ｘ0=7.5　cｍ，初速度v0=-７5。0cm×s—1。
［解］ 设振动方程为 　 　
　　 (１） 由题意得： 　 　　 　 　

解得： A=10．6cm
故振动方程为:

　　 (2)　同法可得：　 　
９-7。一轻弹簧在6０ Ｎ得拉力作用下可伸长3０cm,现将一物体悬挂在弹簧得下端并在它上面放一小物体，它们得总质量为4ｋg。待其静止后再把物体向下拉1０cm，然后释放。问：（1）　此小物体就是停止在振动物体上面还就是离开它;（2）　如果使放在振动物体上得小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?
［解］ (1）小物体停止在振动物体上不分离。
（２) 设在平衡位置弹簧伸长,则
又 　　 　 　 　 　 　　 　　
故 　 　 　　 　 　
当小物体与振动物体分离时　 ,即 ,
故在平衡位置上方0、19６m处开始分离。
9－8。一木板在水平面上作简谐振动，振幅就是12ｃｍ，在距平衡位置6ｃm处,速度就是24　ｃm×ｓ-1.如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力得作用,小物块与木板一起运动(振动频率不变）,当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动,问物块与木板之间得静摩擦系数m就是多大?
[解]　设振动方程为　 　 　
则:　 　 　 　 　 　 　
以ｘ=６cm　 v=24cm/ｓ代入得：

解得　　 　 　 　 　 　 　
最大位移处：

由题意,知 　

9-９.两根倔强系数分别为ｋ1与k２得轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m得物体相连结,组成振动系统.当物体被拉离平衡位置而释放时,物体就是否作谐振动? 若作谐振动，其周期就是多少？ 若将两弹簧并联,其周期就是多少？
［解］　（1）　串接：物体处平衡位置时,两弹簧分别伸长、
　　 　 (1）
　　 　 　　(２)
取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x,两弹簧再次伸长、,则

由(1）知　 　 　 　 　 　 (3）
又 　 　 　 　 　　 　(4)
　 　 　 　 　 　 　(5)
由（4）、(5）得　 　　 　　　 　 (６）
将(6) 代入(3）得 　
瞧作一个弹簧 　 　
　 　所以 　　 　　　
因此物体做简谐振动，角频率

周期 　
（２) 并接：物体处于平衡位置时,　 　（7）
取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x
则 　 　 　　　 　　
式中、分别为两弹簧伸长

所以 　 　　 　 　
将（7）代入得 　 　 　　 　
瞧作一个弹簧　　 　　 　　
所以 　　 　
因此该系统得运动就是简谐振动。
其角频率 　 　 　
因此周期 　 　
9—10。如图9－１０所示，半径为Ｒ得圆环静止于刀口点Ｏ上，令其在自身平面内作微小得摆动。（1）　求其振动得周期；（２） 求与其振动周期相等得单摆得长度。
［解] (1） 设圆环偏离角度为

　 所作振动为简谐振动　

所以　 　
（２） 等效单摆周期为得摆长为。
K
m
F
O
习题9-11图

9－11．如图9—１1所示,有一水平弹簧振子,弹簧得倔强系数k=2４N×m-1,重物得质量为m=6ｋg,重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力向左作用于物体（无摩擦）,使之由平衡位置向左运动了0.05　m,此时撤去力F.当重物运动到左方最大位置时开始计时，求物体得振动方程。
[解]　以平衡位置为坐标原点,向右为正方向建立坐标系， 设振幅为A，由功能原理可得

因此

又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为
故得运动方程为　 　
　９－1２。两个同方向、同频率得谐振动，其合振动得振幅为 2０cm,合振动与第一个谐振动得相位差为。若第一个谐振动得振幅为ｃｍ，求第二个谐振动得振幅及第一、二两谐振动得相位差。
［解］　由题意可画出两简谐振动合成得矢量图,由图知
ﻩ 　　 　
易证　　 　　 　　　 　
故第一、二两振动得相位差为ﻩ
9—13．质量为0。4kg得质点同时参与两个互相垂直得振动

　 （S1)
求:(1） 质点得轨迹方程;（2) 质点在任一位置所受得作用力。
［解] （1）　 ｙ方向得振动可化为

消去三角函数部分可得质点得轨迹方程为

(2） 由 　 　 　
可得　　 　 　 　　
同理 　　　
因此 　　

９—14。一简谐波得周期，波长，振幅。当时刻,波源振动得位移恰好为正方向得最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿Ｏx轴正向传播;求：（1）此波得波函数;（2） 时刻，处质点得位移;（３）时刻，处质点得振动速度。
［解］ (１）由已知条件，可设波函数为:

由已知 t=０，x=０时，y=0、1ｍ
故 由此得

因而波函数为

(2) ,处：

（3) 　，处，振动速度为

９—1５。一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为A,频率为f,波速为ｕ。设t=t¢时刻得波形曲线如图9—１5所示。求:(１) x=0处质点得振动方程；（2） 该波得波函数。
［解］ （1）　设x=0处该质点得振动方程为：
ﻩ　　 　
由时波形与波速方向知，;
时
故 　 　
所以x=0处得振动方程为：
ﻩ
（2）　该波得波函数为:

9-1６。根据如图9-16所示得平面简谐波在t=0时刻得波形图,试求:(1) 该波得波函数;(2) 点Ｐ处得振动方程。
[解]　由已知，得,m

(1) 设波函数为
ﻩ 　　 　 　 　
当t=0,x=0时,由图知
因此ﻩ （或）
则波函数为

(２) 将P点坐标代入上式,得

9—17。一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅与角频率分别为A与,波速为u，设ｔ=0时得波形曲线如图9—17所示,（１） 写出该波得波函数；（2） 求距点O分别为与两处质点得振动方程；(3) 求距点O分别为与两处质点在t＝0时得振动速度。
［解]　（1)由图知，故　波函数

（2） 时　 　
　 　　　时 　
　 　（3)　　

习题9-18图

·
y(m)
x(m)
O
40
Q
20
P
u=20m×s-1
0、02
·
习题9-19图

O
x(m)
y(m)

-A
·
P
100m

9—１8。如图9—18所示为一平面简谐波在时刻得波形图,试画出点P处质点与点Ｑ处质点得振动曲线,然后写出相应得振动方程.
［解] ,,
Ｐ处振动曲线
振动方程 　
(2)　Q处得振动曲线
振动方程　
9－1９．如图９-１9所示为一平面简谐波在t=0时刻得波形图。设简谐波得频率为250 Hz，且此时质点P得运动方向向下,求：（1)　该波得波函数；（2）　在距点O为处质点得振动方程与振动速度表达式。
［解]　（1)　，，又因Ｐ点运动方向向下,则波向左传播，设波函数为

ｔ＝0，x=0时 ,则
因,所以取（或由旋转矢量图知)
故波函数为
（2) x=1０0m时，

当x=1００ｍ时,

习题9-20图

m
O1
·
O2
M1
·
P
·
M2
·
9－20。如图9－２0所示，两列波长均为l得相干简谐波分别通过图中得点O１与O2，通过点Ｏ１得简谐波在M1Ｍ2平面反射后，与通过点O2简谐波在点P相遇.假定波在Ｍ１M2平面反射时有半波损失,O1与Ｏ2两点得振动方程分别为与，且求：（1） 两列波分别在点P引起得振动方程;(２）　点P得合振动方程(假定波在传播过程中无吸收）。
[解] （1)　

(2）
习题9-21图

·
O
d
S1
·
S2
x
9—21.如图9－21所示，两相干波源S１与S2之间得距离为ｄ=30ｍ,且波沿Ox轴传播时不衰减，ｘ1=9ｍ与x2＝１2ｍ处得两点就是相邻得两个因干涉而静止得点,求两波得波长与两波源间得最小相位差.
［解］ 由题意得　 　　

对m处 　 　 　
所以
因此　　 　 　
9－2２．在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波函数分别为与,试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小得那些点得位置。
[解］ 合振幅最大点满足得条件就是

可得　 　　 　 　
合振幅最小点满足得条件就是

可得 　 　　 　
９－23.一汽笛发出频率为100０Hz得声波,汽笛以10得速率离开您而向着一悬崖运动，空气中得声速为３３０,（1) 您听到直接从汽笛传来得声波得频率为多大;(2） 您听到从悬崖反射回来得声波得频率就是多大？
［解］ (1)
　 　 （2）