1、导数专题一:导数法巧解单调性问题
考纲要求:
1、了解函数单调性与导数得关系;能利用导数研究函数得单调性,会求函数得单调区间(对多项式函数不超过三次).
基础知识回顾:
用导数研究函数得单调性
(1)用导数证明函数得单调性
证明函数单调递增(减),只需证明在函数得定义域内()0
(2)用导数求函数得单调区间
求函数得定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数得单调递增(减)区间。
一般地,函数在某个区间可导 ,＞0 在这个区间就是增函数
一般地,函数在某个区间可导 ,＜0 在这个区间就是减函数
(3)单调性得应用(已知函数单调性)
一般地,函数在某个区间可导
2、在这个区间就是增(减)函数≥
【注】①求函数得单调区间,必须优先考虑函数得定义域,然后解不等式＞(＜)0(不要带等号),最后求二者得交集,把它写成区间。
②已知函数得增(减)区间,应得到≥(≤)0,必须要带上等号。
③求函数得单调增(减)区间,要解不等式＞0,此处可不带等号。
④单调区间一定要写成区间,不能写成集合或不等式;单调区间一般都写成开区间,不要写成闭区间;如果一种区间有多个,中间不能用“”连接。
应用举例:
一、求函数得单调区间
例1【2013广东文节选】函数 .
(1) 当时,求函数得单调区间;
【解析】
(1)当时
,在上单调递增、
例3(2013年全
3、国卷课标Ⅰ文20)已知函数,曲线在点处切线方程为、讨论得单调性、
【解析】,
从而,
令
从而当<0、
故、
【应用点评】
变式训练:
【变式1】已知a∈R,函数,求f(x)得单调区间
方法、规律归纳:
利用导数求函数f(x)得单调区间得一般步骤:
(1)确定函数f(x)得定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)在函数f(x)得定义域内解不等式f′(x)>0与f′(x)<0;
(4)根据(3)得结果确定函数f(x)得单调区间.
二、已知单调区间求字母参数得取值范围
例【2013大纲理】若函数在就是增函数,则得取值范围就是( )
4、A. B. C. D.
例。设,其中为正实数;若为上得单调函数,求得取值范围。
实战演练:
1、已知函数满足满足;求得解析式及单调区间;
2、已知函数、 讨论得单调性;
由,此时此时单调递增递减
3、已知函数(为常数,就是自然对数得底数),曲线在点处得切线与轴平行、
(Ⅰ)求得值;
(Ⅱ)求得单调区间;
4、已知函数f(x)＝x2＋(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,＋∞)上就是单调递增得,求a得取值范围.
5、已知a∈R,函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R,e为自然对数得底数).
(1)当a＝2时,求函数f(x)得单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增,求a得取值范围;
(3)函数f(x)能否为R上得单调函数,若能,求出a得取值范围;若不能,请说明理由.
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