数学模型第四版作业对于节蛛网模型讨论下列问题.doc

)
设由与得平均值决定,即价格函数表示为:

则    

消去y, 得到  ,k=1,2,…、
    该方程得特征方程为

与6、4节中   时得特征方程一样,
所以0<<2, 即为点得稳定条件。
(2)设  
     ,
则有  

消去y,得到
该方程得特征方程为

令=x,=a &nbsp;, 即求解三次方程
 得根
在matlab中输入以下代码求解方程得根x:
syms x a
solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x)
解得                                                           nbsp;                                                                                                                                                                        
&nbsp; = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));
   = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) + a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));
   =-(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) + 3^(1/2)*a*24*i + 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a - 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) + a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));
其中为实根,与为一对共轭虚根。
①x为虚根时:
易知||=*=*,
在matlab 中输入代码:
                  f=x2*conj(x2)   %求特征根模长得平方
可得||=f=(a/12 - (3^(1/2)*((- a^2/144 + a/6)/(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))*i)/2 - (- a^2/144 + a/6)/(2*(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)/2)*(conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))/2 + conj(a)/12 - (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/(2*conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))) + (3^(1/2)*(conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^1/3)) + (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)))*i)/2);
就是关于a得函数
建立fun、m文件:
function f=fun(a)
f=(a/12 - (3^(1/2)*((- a^2/144 + a/6)/(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))*i)/2 - (- a^2/144 + a/6)/(2*(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)/2)*(conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))/2 + conj(a)/12 - (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/(2*conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))) + (3^(1/2)*(conj((((- a^2/144 a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) + (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)))*i)/2)
将a从0开始到20赋值,间隔0、1,求出每个a对应得虚根得模长得平方z得值,最后画出z关于a得图像:
a=0;
k=1;
while k<=200 &nbsp;
a=a+0、1;
b(k)=a; %将每个a存入矩阵b
z(k)=fun(a);
k=k+1;
end
plot(b,z)
                            图像:
从图像中可以瞧出虚特征根模长得平方||就是关于a=得增函数,且当0<a=<2时,||<1;
②当x为实根时:
由①知0<a=<2,下求实特征根关于a得值及图像:
因为 = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));
建立fun1、m文件:
function f=fun1(a)
f=(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))
画出实特征根关于a得图像:
clear
a=0;
k=1;
while k<=20  %因为a<2
a=a+0、1;
b(k)=a; %将每个a存入矩阵b
z(k)=fun1(a);
k=k+1;
end
plot(b,z)
图像:
从图中可以瞧出而当0<a=<2时,-1<<1、
综上①②,使方程3个特征根均在单位圆内得条件为:
<2
即为点稳定得条件,条件未放宽也未缩减。
      14数本一班     单超炳   14211033106