1、 1/7 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C【解析】44i134i43iiiz ,所以22(4)(3)5z 。故选 C。2.【答案】A【解析】()4UCAB,所以1,2,3AB。因为1,2B。所以A一定含元素 3,不含 4。又因为3,4UC B,所以3UAC B 3.【答案】D【解析】因为()f x为奇函数,所以1(1)(1)121ff 。4.【答案】B【解析】由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,高也是 2,如下图:由图可知2PO,1OE,所以22215PE,所以184233V ,14254 52S 。5
2、.【答案】A【解析】由题可知12030 xx,所以有213xx,从而可得03xx,所以定义域为(3,0。6.【答案】C【解析】第一次:1.20a,1.2 10.20a,0.2 10.80a,0.8 1a 不成立,输出 0.8。第二次:1.20a 不成立,1.2 1a 成立,1.2 10.2 1a 不成立,输出 0.2。7.【答案】B【解析】由正弦定理sinsinabAB得:13sinsinAB,又因为2BA,所以可以得到 2/7 133sinsin22sin cosAAAA。3cos2A,所以30A。60B,90C。所以22132C 。8.【答案】A【解析】由题意:qp,pq,根据命题四种形式
3、之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以qppq等价于pqqp。所以p是q的充分而不必要条件。故选 A。9.【答案】D【解析】因 cossi()()()ncos()sinfxxxxxxxf x-+-,故该函数为奇函数,排除B。又0,2x,0y,排除 C。而x 时,y,排除 A,故选 D。10.【答案】B【解析】模糊的数为x,则:9087 94 91 90 90 91 91 7x+=,4x。所以 7 个数分别为 90,90,91,91,94,94,87,方差为222222 90912 91 912 949187913677s 。11.【答案】D【解析】设2001,2M xxp,212xyxp
4、p,故 M 点切线的斜率为033xp,故31,36Mpp。由31,36pp,0,2p,2,0三点共线,可求得433p,故选 D。12.【答案】C【解析】由22340 xxyyz+-=得2243xyxy z+-=,222224443331xyzxyxyxyxyxyxy,当且仅当224xy=即xy=2时,zxy有最小值 1。将2xy=代入原式得22zy=,所以22222224xy zyyyyy+-=+-=-+,当1y=时有最大值 2。故选 C。第卷 二、填空题 13.【答案】2 2【解析】如下图,当 AB 所在直线与 AC 垂直时弦 BD 最短,22321 22AC ,2CB r=22222BA,
5、BD=2 2。3/7 14.【答案】2【解析】由约束条件可画出可行域如下图阴影部分所示。由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线2 0 x y+-=的距离,即min|2|22d。15.【答案】5【解析】(1)OAt ,2,2OB,(3,2)BAOAOBt。又90ABO,0BA OB,即(3,2)(2,2)0t,6 240t-+,5t。16.【答案】【解析】对于可分几种情形加以讨论:显然,,1a b 时,ln x依lnx运算,ln|lnbaba成立,01ba 时亦成立。若01a,则ln|lnbaba成立。综合正确。对于可以取特殊值1e,eab,验证排除。对于分别研究ab,在|0,|x内的不同取
6、值,可以判断正确。对于根据ab,在|0,|x内的不同取值,进行判断,显然ab,中至少有一个小于 1 结论成立。当ab,都大于 1 时,112ab,所以2abab,满足lnx运算结论成立。三、解答题 17.【答案】()12()310【解析】()从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个。4/7 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个。因此选到的 2 人身高都在 1
7、.78 以下的概率为3162P。()从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个。由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共 3 个。因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为310P。18.【答案】()1()32,1【解析】()2331cos21()3sins
8、incos3sin2222231cos2sin2sin 2223xf xxxxxxxx。因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又0,所以2=424。因此1。()由()知()sin 23f xx。当32x时,582333x。所以可以得到 3sin 2123x,因此31()2f x。故()f x在区间3,2上的最大值和最小值分别为32,1。19.【答案】()取PA的中点H,连接EH,DH。因为E为PB的中点,所以EHAB,12EHAB。又ABCD,12CDAB,所以EHCD,EH CD=。因此四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH。又DH 平面PAD,CE 平面PAD,因此CE平面PA
9、D。()证明:因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA。又ABPA,所以ABEF。同理可证ABFG。又EFFGF,EF 平面EFG,FG平面EFG,因此AB 平面EFG。又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD。又ABCD,所以MNAB。因此MN 平面EFG。又MN 平面EMN,所以平面EFG 平面EMN。5/7 20.【答案】()21nan=()2332nnnT【解析】()设等差数列 na的首项为1a,公差为d,由424SS=,221nnaa=+得:11114684212211adadandand ,解得11a=,2d=。因此21nan=,*nN。()由已知1212112nnnbb
10、baaa,*nN,当1n 时,1112ba;当2n时,111111222nnnnnba。所以12nnnba,*nN。由()知21nan=,*nN,所以212nnnb,*nN。又23135212222nnnT,231113232122222nnnnnT,两式相减得 2311111222213121222222222nnnnnnnT,所以2332nnnT。21.【答案】()由 2+lnf xaxbxx=,(0,)x,得221()axbxfxx。()当0a,1()bxfxx。若0b,当0 x 时,()0fx恒成立,所以函数()f x的单调递减区间是(,)x。若0b,当10 xb时,()0fx,函数(
11、)f x单调递减。当1xb时,()0fx,函数()0fx单调递增。所以函数()f x的单调递减区间是10,b,单调递增区间是1,b。()当0a 时,令()0fx,得21 0axbx+=。由280ba=+得 2184bbaxa,2284bbaxa。显然,10 x,20 x。当20 xx时,()0fx,函数()f x单调递减。当2xx,()0fx,函数()f x单调递增。所以函数()f x的单调递减区间是280,4bbaa,单调递增区间是28,4bbaa。综上所述,当0a,0b时,函数()f x的单调递减区间是0,;当0a,0b时,函数()f x的单调递减区间是10,b,单调递增区间是1,b;当0
12、a 时,函数()f x的单调递减区间是280,4bbaa,单调递增区间是28,4bbaa。()由题意,函数()f x在1x 处取得最小值,由()知284bbaa 是()f x的唯一极小值点,故2814bbaa,整理得21ab,即1 2ba。令 2 4lng xxx-+,14()xg xx,令g()0 x,得14x。6/7 当104x时,g()0 x,()g x单调递增;当14x 时,g()0 x,()g x单调递减。因此11()1ln1ln4044g xg ,故()0g a,即24ln2ln0aaba,即ln2ab。22.【答案】()2221xy+=()2t 或2 33t 【解析】()设椭圆C
13、的方程为2222=1xyab,(0)ab。由题意知2222222abccab解得2a,1b。因此椭圆C的方程为2221xy+=。()当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为xm,由题意20m或02m。将xm代入椭圆方程2221xy+=,得22|2my。所以226|24AOBmSm。解得232m 或212m。又11(2,0)(,0)22OPtOEt OAOBtmmt,因为P为椭圆C上一点,所以212mt。由得24t 或243t。又因为0t,所以2t 或2 33t。当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为ykxh。将其代入椭圆的方程2221xy+=,得222()1 2422 0kxk
14、hxh+-=。设11(,)A x y,22B()xy,,由判别式0 可得221 2kh+,此时122412khx xk+=,21222212hx xk,121222()212y yk x xhhk+=+=,所以222221212212|142 2 112khABkxxx xkk。因为点O到直线AB的距离2|1hdk,所以 222222221112|12|2 2 12|2212121AOBkhhkhSAB dkhkkk。又64AOBS,所以2221262|124khhk。令21 2nk=+,代入整理得224316160nh nh-+=,解得24nh=或243nh,即221 24kh+=或224231hk+=。又212122112(),221212x xy ykhthtOPtOEt OAOBtkk+,+。因为P为椭圆C上一点,所以 7/7 2222212121212khhtkk,即222112htk。将代入得24t=或243t,又知0t,故2t 或2 33t。经检验,适合题意。综上所得2t 或2 33t。
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