1、抛物线与直线型（3）
——由动点生成面积问题
知识点归纳
面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。解这类问题常用到以下与面积相关的知识：
（1） 图形的割补；
（2） 等积变形；
（3） 等比变化。
经典例题
【例1】 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，
2、使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（昆明市中考题）
思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线，当点C位于的对称轴与线段的交点时，的周长为最小，为此需求出直线AB的解析式；对于（4）过点作轴的平行线交解析式；对于（4），过点作轴的平行线交于，则，代入展开整理得关于的二次函数。
【例2】 如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），
3、点B的坐标为（3，1），二次函数的图象记为抛物线．
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为C，K为轴上一点．若，求点k的坐标；
（威海市中考题）
思路点拨 （1）设点坐标为，通过图形的分割计算，建立的方程；（2）点必在平行于的直线上，从等积变形入手。
【例3】 如图，已知点A（m,6)、B(m,1)为两动点，其中0＜m＜3，连接OA
4、OB，OA⊥OB。
（1）求证：mn=－6；
（2）当时，抛物线经过A，B两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
(3) 在（2）的条件下，设直线AB交轴于点F，过点F作直线交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线，使 ？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。 （潍坊中考题）
【例4】如图，已知抛物线经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式
5、并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？
（2011年包头市中考题）
分析 由点的个数的探讨联想到“根的判别式”，解题的关键是寻找n、S的关系，并建立关于t的一元二次方程。
同步训练
1．如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且=4．过
6、点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
（2011年日照市中考题）
2． 如图①，已知直线与抛物线交于A、B两点，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段A
7、B等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
第二题
（长沙市中考题）
3. 如图，抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，对称轴与抛物线相较于点P、与直线BC相较于M，连接PB。
（1） 求该抛物线的解
8、析式；
（2） 抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使与的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由。
（大连市中考题）
第3题
4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点C，顶点为E，顶点为E。
（1）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足，且顶点E恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式．
（天津市中考题）
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