数列专项求和公式.doc

专题二　 求数列得通项公式
B、求数列通项公式
1） 观察法 ——————给出前几项(或用图形给出),求通项公式
一般从以下几个方面考虑:
①符号相隔变化用来调节。
②分式形式得数列，注意分子、分母分别找通项,并注意分子与分母得联系。
③分别观察奇数项与偶数项得变化规律,用分段函数得形式写出通项。
④观察就是否与等差数列与等比数列相联系。
⑤分析相邻项得关系。
写出下面数列得一个通项公式

２)定义法-－-----－－----－------－----－-－-－-－数列为等差(或等比）数列
如果已知数列为等差(或等比)数列,求得首项,公差d（或公比q),可直接根据等差(或等比)数列得通项公式,从而直接写出通项公式。
等差数列
等比数列 　　
3） 给出前n项与
利用公式求通项公式
1、 ⑴; 　 　 　 　 　 　⑵、
２、设数列满足,求数列得通项公式
4)给出递推公式求通项公式(高考重点、热点题型,要高度重视)
a、 已知关系式,——————————————累加法
即由递推关系可得一系列等式:
，将以上个等式相加得：，
所以有即为所求。
注：累加法恒等式
1
1
2
3
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
+
-
+
+
-
+
-
+
-
=
-
-
-
-
-
L

例1:已知数列中,，求数列得通项公式;
例２、 在数列{an}中,已知 ,求通项公式。
分析：表面上递推式不满足该类型，但若“取倒数”奇迹就出现了。
解:两边取倒数递推式化为: ,即
所以

将以上个式子相加，得:
即故
评注:与分式有关得递推关系，常用“取倒数”法,事实上很多表面瞧似复杂得问题,往往就是略施小“技”就会大显神通。关键就是变形与转化,“变则通，通则达”。
巩固:数列中,,求数列得通项公式、

b、已知关系式,————————————————累乘法、
即由递推关系可得系列等式
，
将以上个式子相乘得，,于就是。(其中表示相乘)
注:累乘法恒等式

例1、已知数列满足:,求求数列得通项公式;
例2、、已知为首项为1得正项数列，且
则
分析：结构形式很复杂,很难下手,但考虑到递推式就是关于与得二次齐次式,
分解因式正就是良策．
解：由已知得，,因,故、
由此得,.
以上个式子累乘,得，得.
评注:其实本题变形,可得,显然数列就是常数列,而,
于就是,显得更就是技高一筹。
c、构造新数列——————————————————————待定系数法
题型一:形如)”　－－-－－------－--－-－待定系数法
①若,则就是等差数列;
②若,则就是等比数列;
③若,一般解法:
将递推数列变形,设为,,则可求出其中得待定系数(常数),
由上式可知新数列就是等比数列,首项为,公比就是,,进而移项得通项公式　
例、已知数列中,,求数列得通项公式、
题型二： 形如 　 (难点)
常有以下情形：
当时,对于————————————累加法；
当时，对常见得有三种特殊情况:
① 若(常数)；对于——可化为题型一　( 待定系数法 );
② 若；对于————————待定系数法
可变形为
则可求出其中得待定系数A=　 , Ｂ= 　 　
　　　所以新数列就是等比数列,首项为,公比为
　　　则，
　 从而
③若;对于,通过两边除以
变形为 　 　 　 　 　 　,设
则,新数列转化为————————题型一　（ 待定系数法 )．
④若;对于
可变形为 　
从而转化为与②类似问题,求出待定系数A=? B＝?————————待定系数法
进而可求新数列得通项公式,又可得到
例、,求数列得通项公式、
题型三:形如“”,————————————待定系数法
例、已知数列中,,求数列得通项公式、
[ 提示 ］ 变形为(其中2为待定系数）
则新数列为得等比数列,首项为=1，公比为２，进而可得递推关系式,转化为前面题型求解。
题型四:形如",－---－--－－-－－---两边同除以
例、已知数列中,,求数列得通项公式、
题型五:“分式型”
取倒数变成－----－--－－--－---－-－---------－－---－--－“取倒数”法
例、数列中,,求数列得通项公式、
d、综合型————给出关于与得关系
例、设数列得前项与为,已知，设，
求数列得通项公式.