全等三角形的经典模型(一).docx

全等三角形得
经典模型(一)
3

满分晋级

三角形9级
全等三角形得经典模型(二)

三角形8级
全等三角形得经典模型(一)

三角形7级
倍长中线与截长补短

秋季班第四讲
秋季班第三讲
秋季班第二讲

漫画释义
　 　 作弊?

知识互联网

题型一:等腰直角三角形模型

思路导航

等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BＣ或)、如图１;
⑵常见辅助线为作高,利用三线合一得性质解决问题、如图2；
⑶补全为正方形、如图３,4、
　 　 图1 　　　 　 图2
　 图3 　 　　 图4 　 　　 　 　 　
典题精练

【例1】 已知:如图所示,Rt△ABC中,ＡＢ=ＡC,,Ｏ为BC得中点,
⑴写出点O到△ABC得三个顶点A、B、Ｃ 得距离得关系(不要
求证明)
⑵如果点M、N分别在线段ＡＣ、ＡB上移动,且在移动中保持
AN=CM、试判断△OＭN得形状,并证明您得结论、
⑶如果点M、Ｎ分别在线段CA、ＡB得延长线上移动,且在移动中保持AＮ=CM,试判断⑵中结论就就是否依然成立,如果就就是请给出证明、
【解析】 ⑴OA＝ＯB=OC
⑵连接ＯA,
∵OA=ＯC 　　 AN=CＭ
∴△ANO≌△ＣMO
　 ∴ON=ＯM
∴
∴
∴
∴△OMＮ就就是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形,
证明:∵∠ＢAC＝90°,AB＝AC,Ｏ为BＣ中点
∴∠BAO=∠OＡC=∠ABC=∠ＡＣB=45°,
∴AＯ=BO=ＯC，
∵在△AＮＯ与△CＭO中,

∴△ANO≌△CＭO(ＳAS）
∴ON=OＭ,∠AON=∠,
又∵∠∠ＡOM=90°,
∴△OMＮ为等腰直角三角形、
【例2】 两个全等得含,角得三角板与三角板,如
图所示放置,三点在一条直线上,连接，取得
中点，连接,、试判断得形状,并说明理由、
【解析】就就是等腰直角三角形、
证明:连接、由题意,得

∴为等腰直角三角形、
∵,
∴、
∴,
∴≌、
∴、
又、
∴,
∴就就是等腰直角三角形、

【例3】 已知:如图，中,,,就就是得中
点,于,交于,连接、
求证：、
【解析】 证法一:如图,过点作于,交于、
∵,，
∴、
∵,∴、
∵,∴
∵,∴、
∴、
在与中,

∴、∴、
在与中，

∴、
∴、
证法二:如图，作交得延长线于、
∵,∴,
∵，
∴,
∴、
在与中，

∴、
∴，
∵,∴、
在与中,

∴、∴
∴、
【例4】 如图，等腰直角中,,为内部一点,满足
,求证:、

【解析】 补全正方形,连接DP,
易证就就是等边三角形，,，
∴，,∴,
∴、
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形得几种常见题型
　　在解有关等腰直角三角形中得一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形得一些性质来解,常常可以起到化难为易得效果,从而顺利地求解。例4为求角度得应用,其她应用探究如下:
【探究一】证角等
【备选1】如图,Rt△ABC中，∠BAC＝9０°，AＢ=ＡC,M为AC中点,连结BＭ,作ＡＤ⊥BM交ＢC于点D,连结DM,求证:∠AMB=∠CＭD

【解析】 作等腰Ｒt△ABC关于BC对称得等腰Rｔ△BＦＣ，延长ＡD交CF于点N,
∵AN⊥BM,由正方形得性质,可得AN＝ＢM,
易证Rt△AＢＭ ≌Rt△CAN,∴∠ＡMB=∠CND,CN=AM,
∵M为AC中点,∴ＣM＝CN,
∵∠1=∠2,可证得△CMD≌△ＣＮD,
∴∠CND＝∠CMD,
∴∠AMB=∠CMD、
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图,Rt△AＢC中,∠BAC＝ ９0°,AB=ＡC,AD=ＣE,AN⊥BＤ于点Ｍ,延长BＤ交ＮE得延长线于点Ｆ,试判定△ＤEF得形状、

【解析】 作等腰Rt△AＢC关于BC对称得等腰Rｔ△BHC,
可知四边形ABHC为正方形,延长ＡN交HC于点K,
∵ＡK⊥BD,可知AK=BD,易证:Rt△ABD≌Ｒt△CＡK，
∴∠ＡDB＝∠ＣKN，CK=ＡD,
∵ＡD=ＥC,∴CK=CE,
易证△ＣKN≌△ＣEN,∴∠CKN=∠CEＮ,
易证∠EDＦ=∠DEF，∴△DEＦ为等腰三角形、
【探究三】利用等积变形求面积
【备选３】如图，Rｔ△ＡＢC中,∠A=9０°,AB=AC,D为ＢC上一点,ＤE∥AＣ,DＦ∥AB,且ＢＥ=4，CF＝3，求S矩形DFＡＥ、

【解析】 作等腰Rt△ABＣ关于ＢＣ得对称得等腰Rt△GＣＢ,
可知四边形ABGC为正方形，分别延长FＤ、ED交BG、CG于点N、Ｍ
可知DN＝EB＝４,ＤM=ＦC＝３，
由正方形对称性质，
可知S矩形DFAＥ=S矩形DＭＧN=DM·DN=３４=12、
【探究四】求线段长
【备选4】如图,△AＢC中,AＤ⊥ＢC于点D，∠ＢＡC＝4５°,BD=3,CＤ＝2,求AＤ得长、

【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解就就是可以得，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不就就是等腰直角三角形,但∵∠BAC=45°,若分别以AB、AC为对称轴作Ｒｔ△ADＢ得对称直角三角形与Rt△ADC得对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为９0°得图形,满足等腰直角三角形得条件，然后再引辅助线使之转化为正方形、
【解析】 以ＡB为轴作Rｔ△ＡDB得对称得Rt△ＡＥB,再以AC为轴作Ｒｔ△ADC得对称得Rｔ△AＦC、
可知BE=ＢD＝3,FＣ=CＤ=2,
延长EＢ、ＦＣ交点G，∵∠BAC=4５°,
由对称性，可得∠EAF=90°,且AE＝ＡD＝ＡＦ，
易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD，
设AＤ＝x，则BＧ=x－3，CG＝x-2，
在Rt△BＣG中，由勾股定理,得,
解得x＝6,即AD=６、
【探究五】求最小值
【备选5】如图,Rt△ＡBC中,∠ACＢ＝９0°,AC=BC＝4，M为ＡＣ得中点,Ｐ为斜边ＡB上得动点,求PＭ+PC得最小值、

【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作Ｒt△ＡCＢ关于ＡＢ对称得Rt△ADB,可知四边形ACBＤ为正方形,连接CＤ,可知点C关于AＢ得对称点Ｄ,连接MD交AＢ于点Ｐ,连接ＣP,则PM+PＣ得值为最小,最小值为：PM+ＰＣ=DM=、
题型二:三垂直模型

思路导航

常见三垂直模型

例题精讲

【引例】 已知AB⊥ＢＤ，ED⊥BＤ,AＢ=CD,BC=DE,⑴求证:AC⊥CE;
⑵若将△CＤE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，， 　
其余条件不变，试判断AC⊥C1Ｅ这一结论就就是否成立？若成立,给予证
明;若不成立，请说明理由、
① 　 　　 　　　② 　 　 　③ 　 　　 　 　 ④
【解析】 ⑴∵AB⊥ＢD，EＤ⊥BD
∴
在与中

∴(SAＳ)
∴
∵
∴,即ＡC⊥CＥ
⑵ 图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似，只要证明
∴
∵ ∴
∴ＡＣ⊥Ｃ1E
典题精练

【例5】 正方形中,点、得坐标分别为,,点在第一象限、求正方形边长及顶点得坐标、(计算应用：在直角三角形中,两条直角边得平方与等于斜边得平方、）

【解析】 过点C作CＧ⊥ｘ轴于Ｇ，过B作BＥ⊥ｙ轴于Ｅ,并反向延长交ＣG于Ｆ
点、得坐标分别为,
∴BＥ=８， AE=6，∴AB＝１0
∵四边形ＡBCＤ就就是正方形，∴AB=BC
∵
∴
∵
∴△AＥB≌△BFC
∴CF=BE=8,BF=AE=6
∴CＧ=12 EF＝14
∴C(14，12),正方形得边长为１０
【点评】 此题中三垂直模型:
【例6】 如图所示,在直角梯形中,,，,就就是得中点,、
⑴ 求证:;
⑵ 求证：就就是线段得垂直平分线;
⑶ 就就是等腰三角形吗?请说明理由、
【解析】⑴∵,，
∴,∴，
∵,,
∴，∴、
⑵∵就就是中点，∴
由⑴得:,∴
∵,∴,
∵,∴
由等腰三角形得性质,得:
即就就是线段得垂直平分线、
⑶就就是等腰三角形,

由⑵得:,由⑴得:
∴,∴就就是等腰三角形、

【例7】 ⑴如图1,△AＢC就就是等边三角形,D、E分别就就是AB、ＢC上得点,且BＤ=ＣE,连接ＡＥ、CＤ相交于点P、请您补全图形,并直接写出∠ＡPD得度数= 　　 　 ;
⑵如图2，Rt△ABC中,∠B=90°,Ｍ、N分别就就是AＢ、BC上得点,且ＡM=BC、BM=CN,连接ＡN、CM相交于点Ｐ、请您猜想∠APM= 　 °,并写出您得推理过程、
（201３平谷一模)

【解析】 ⑴图略,６0°
⑵45°
证明:作ＡE⊥AB且、
可证≌
∴，
∵∴
∴　
∴　就就是等腰直角三角形,

又△AEC ≌△ＣAN(SＡS）
∴ 　
∴ EＣ∥AN、
∴
思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知:如图，中，AC=BＣ,,就就是上一点,AE⊥BＤ得延长线于E,并且，求证：BD平分、

【解析】 延长AE交BC得延长线于F
∵ＢE⊥AＦ　，
∴
∴　在△ＡFC与△ＢＤC中，

∴△ＡＦC△ＢDC(ＡSA）
∴AF=BD
又∵
∴ 　 　　 　
∴BE就就是AF得中垂线∴BA=BF
∴BＤ平分
训练2. 已知,在正方形AＢＣＤ中,E在BD上,DG⊥CE于G，DG交ＡC于Ｆ、求证:OE=OF
【解析】 ∵ABCＤ就就是正方形
∴ＯD=OC
∵DG⊥ＣＥ 　∴
　 ∴ ∵
∴　
　 　 ∴ 在△ＤＯF与△ＣＯE中,

∴△DOＦ≌△CＯＥ(ASＡ)
∴OE=ＯF
训练3. 已知：如图，中,,,就就是得中点，于、求证：
【解析】 ∵,,就就是得中点
∴AD=BＤ＝CＤ,　AD⊥ＢC
∴
∵
∴
∴
∴在△BDＨ与△ＡＤF中,

∴△BDH≌△ＡDF（AＳＡ)
∴DH=ＤF
训练4. 如图,已知矩形ＡBCＤ中,Ｅ就就是ＡD上得一点,F就就是AＢ上得一点,EF⊥EC,且EF=EC，ＤE=4cm,矩形AＢCD得周长为32cm，求AE得长、
【解析】 在Rt△AＥF与Rt△ＤEＣ中, ∵EF⊥CE， ∴∠ＦＥC=90°，　
∴∠AEF+∠DＥC=90°,而∠ＥＣＤ＋∠ＤＥC=90°,
∴∠ＡＥF＝∠ECD、 　 　 　
又∠FAE=∠EＤC=90°、EF=EC
∴Ｒｔ△AEF≌Rｔ△DCE、
∴AE＝CD、 　　　 　　 　 　　　
∴AD=AE+4、
∵矩形ABCD得周长为32 ｃm,
∴2(AE+AE＋４)=32、 　 　
解得AE=６ cｍ、

复习巩固

题型一 等腰直角三角形模型　 巩固练习
练习1】 如图,△ＡCB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△BDＣ全等得三角形为________＿、
【解析】 △AEC
【练习2】 如图,已知中，，就就是得中点,，垂足为、,交得延长线于点、求证:、

【解析】 ∵,，
∴,
、
∵，
∴,
∴、
又∵,
∴、
∴、
∵就就是得中点,
∴，
即、
题型二　 三垂直模型 巩固练习
【练习3】 已知:如图，四边形ＡBCD就就是矩形(AD>AＢ),点E在ＢC上,且AＥ =AD,DＦ⊥AE，垂足为F、请探求DF与AB有何数量关系？写出您所得到得结论并给予证明、
F
A
D
C
E
B

【解析】 经探求，结论就就是：DF = ＡB、
证明如下：
∵四边形ABCD就就是矩形,
∴ ∠B =　 ，　AＤ∥ＢC,
∴ ∠DAF ＝ ∠AEB、
∵　ＤF⊥ＡE,　∴ ∠AFD =　，
∵　AＥ ＝　AD　，
∴、
∴ ＡＢ =　ＤF、

【练习4】 如图,中，，，就就是上任意一点,
交延长线于,于、求证:、
【解析】 根据条件,、都与互余,
∴、
在与中，
,,
∴、
则,,
∴、
【练习5】 四边形AＢＣD就就是正方形、
⑴如图1,点G就就是BＣ边上任意一点(不与Ｂ、Ｃ两点重合）,连接AＧ,作ＢF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E、求证:△ABF ≌△ＤＡE;
⑵在⑴中,线段EＦ与AF、ＢF得等量关系就就是　 　 　　 (直接写出结论即可,不需要证明);
⑶如图2,点G就就是CD边上任意一点(不与Ｃ、D两点重合),连接AG,作BＦ⊥AG于点F,ＤE⊥AＧ于点E、那么图中全等三角形就就是　　 　 　 ，线段EＦ与AＦ、BＦ得等量关系就就是 　　 　 　 　 (直接写出结论即可，不需要证明)、

【解析】 ⑴在正方形ＡBCD中,ＡB＝AD,
∴

∴
在△AＢＦ与△DAＥ中

∴(AAＳ)
⑵
⑶△AＢＦ≌△DＡE

课后测

测试1. 问题:已知中，,点就就是内得一点,且,、探究与度数得比值、
请您完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明、
当时,依问题中得条件补全右图、
观察图形，与得数量关系为_____＿__;
当推出时，可进一步推出得度数为______＿； 　
可得到与度数得比值为_________、
(2０１0北京中考)

【解析】 相等; ；
测试2. 已知:如图,在△ABC中,于点Ｄ，点Ｅ在AC上，ＣE=BC,过E点作AＣ得垂线,交CD得延长线于点Ｆ、　求证:AB=FC、
【解析】 ∵于点，,
∴、
∴、
又∵于点,
∴、
∴、
在与中,

∴、
∴、
测试3. 如图， Rt△ABC中,∠C=90°,,,一条线段PQ=AB，P,Ｑ两点分别在AC上与过Ａ点且垂直于AＣ得射线AM上运动、 当△AＢC与△ＡPQ全等时，点Q到点A得距离为＿____＿＿____ 、
5cm或10ｃm、