全等三角形的经典模型(一).docx

全等三角形得经典模型(一)3满分晋级三角形9级全等三角形得经典模型(二)三角形8级全等三角形得经典模型(一)三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义 作弊?知识互联网 题型一:等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题(AC=B或)、如图;常见辅助线为作高,利用三线合一得性质解决问题、如图2；补全为正方形、如图,4、 图1 图2 图3 图4 典题精练【例1】 已知:如图所示,RtABC中,=C,为BC得中点,写出点O到ABC得三个顶点A、B、 得距离得关系(不要求证明)如果点M、N分别在线段、B上移动,且在移动中保持AN=CM、试判断ON得形状,并证明您得结论、如果点M、分别在线段CA、B得延长线上移动,且在移动中保持A=CM,试判断中结论就就是否依然成立,如果就就是请给出证明、【解析】 OAB=OC连接A,OA=C AN=CANOMO ON=M OM就就是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形,证明:AC90,ABAC,为B中点BAO=OC=ABC=B=45,A=BO=C，在A与CO中,ANOCO(AS）ON=O,AON=,又OM=90,OM为等腰直角三角形、【例2】 两个全等得含,角得三角板与三角板,如图所示放置,三点在一条直线上,连接，取得中点，连接,、试判断得形状,并说明理由、【解析】就就是等腰直角三角形、证明:连接、由题意,得 为等腰直角三角形、,、,、又、,就就是等腰直角三角形、【例3】 已知:如图，中,就就是得中点,于,交于,连接、求证：、【解析】 证法一:如图,过点作于,交于、,，、,、,、在与中,、在与中，、证法二:如图，作交得延长线于、,，,、在与中，、，,、在与中,、【例4】 如图，等腰直角中,为内部一点,满足,求证:、【解析】 补全正方形,连接DP,易证就就是等边三角形，,，,、【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形得几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中得一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形得一些性质来解,常常可以起到化难为易得效果,从而顺利地求解。例4为求角度得应用,其她应用探究如下:【探究一】证角等【备选1】如图,RtABC中，BAC9，A=C,M为AC中点,连结B,作BM交C于点D,连结DM,求证:AMB=CD、【解析】 作等腰tABC关于BC对称得等腰RB，延长D交CF于点N,ANBM,由正方形得性质,可得ANM,易证RtA RtCAN,MB=CND,CN=AM,M为AC中点,MCN,1=2,可证得CMDD,CNDCMD,AMB=CMD、【探究二】判定三角形形状【备选2】如图,RtAC中,BAC 0,AB=C,AD=E,ANB于点,延长B交E得延长线于点,试判定EF得形状、【解析】 作等腰RtAC关于BC对称得等腰RBHC,可知四边形ABHC为正方形,延长N交HC于点K,KBD,可知AK=BD,易证:RtABDtCK，DBKN，CK=D,D=C,CK=CE,易证KNEN,CKN=CE,易证ED=DEF，DE为等腰三角形、【探究三】利用等积变形求面积【备选】如图，RC中,A=9,AB=AC,D为C上一点,EA,DAB,且=4，CF3，求S矩形DF、【解析】 作等腰RtAB关于得对称得等腰RtG,可知四边形ABGC为正方形，分别延长F、ED交BG、CG于点N、,可知DNEB,M=C，由正方形对称性质，可知S矩形DFA=S矩形DN=DMDN=12、【探究四】求线段长【备选4】如图,AC中,AC于点D，C4,BD=3,C2,求A得长、【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解就就是可以得，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不就就是等腰直角三角形,但BAC=45,若分别以AB、AC为对称轴作AD得对称直角三角形与RtADC得对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为0得图形,满足等腰直角三角形得条件，然后再引辅助线使之转化为正方形、【解析】 以B为轴作RDB得对称得RtB,再以AC为轴作ADC得对称得RAC、可知BE=D3,F=C=2,延长E、交点G，BAC=4,由对称性，可得EAF=90,且AED，易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD，设Ax，则B=x3，CGx-2，在RtBG中，由勾股定理,得,解得x6,即AD=、【探究五】求最小值【备选5】如图,RtBC中,AC0,AC=BC4，M为得中点,为斜边B上得动点,求P+PC得最小值、【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作tC关于对称得RtADB,可知四边形ACB为正方形,连接C,可知点C关于A得对称点,连接MD交A于点,连接P,则PM+P得值为最小,最小值为：PM+=DM=、题型二:三垂直模型思路导航常见三垂直模型例题精讲【引例】 已知AB，EDB,A=CD,BC=DE,求证:ACCE;若将CE沿CB方向平移得到等不同情形， 其余条件不变，试判断ACC1这一结论就就是否成立？若成立,给予证明;若不成立，请说明理由、 【解析】 ABD，EBD 在与中(SA),即CC 图四种情形中,结论永远成立,证明方法与完全类似，只要证明 1E典题精练【例5】 正方形中,点、得坐标分别为,点在第一象限、求正方形边长及顶点得坐标、(计算应用：在直角三角形中,两条直角边得平方与等于斜边得平方、）【解析】 过点C作C轴于，过B作B轴于,并反向延长交G于点、得坐标分别为,B=， AE=6，AB0四边形BC就就是正方形，AB=BC ABBFCCF=BE=8,BF=AE=6 C=12 EF14C(14，12),正方形得边长为【点评】 此题中三垂直模型:【例6】 如图所示,在直角梯形中,，,就就是得中点,、 求证:; 求证：就就是线段得垂直平分线; 就就是等腰三角形吗?请说明理由、【解析】,，,，,，、就就是中点，由得:,由等腰三角形得性质,得:即就就是线段得垂直平分线、就就是等腰三角形,由得:,由得:,就就是等腰三角形、【例7】 如图1,AC就就是等边三角形,D、E分别就就是AB、C上得点,且B=E,连接、C相交于点P、请您补全图形,并直接写出PD得度数= ;如图2，RtABC中,B=90,、N分别就就是A、BC上得点,且M=BC、BM=CN,连接N、CM相交于点、请您猜想APM= ,并写出您得推理过程、（201平谷一模)【解析】 图略,045证明:作EAB且、可证， 就就是等腰直角三角形, 又AEC AN(SS） EAN、 思维拓展训练(选讲)训练1. 已知:如图，中，AC=B,就就是上一点,AEB得延长线于E,并且，求证：BD平分、【解析】 延长AE交BC得延长线于FEA， 在FC与C中，CDC(SA）AF=BD又 BE就就是AF得中垂线BA=BF B平分训练2. 已知,在正方形A中,E在BD上,DGCE于G，DG交C于、求证:OE=OF【解析】 ABC就就是正方形D=OC DG 在F与E中,DOC(AS) OE=F训练3. 已知：如图，中,就就是得中点，于、求证：【解析】 ,就就是得中点AD=BC,ADC在BD与F中,BDHDF（A)DH=F训练4. 如图,已知矩形BC中,就就是D上得一点,F就就是A上得一点,EFEC,且EF=EC，E=4cm,矩形ACD得周长为32cm，求AE得长、【解析】 在RtAF与RtE中, EFCE， C=90，AEF+DC=90,而C=90,FECD、 又FAE=EC=90、EF=ECAEFRDCE、 AECD、 AD=AE+4、矩形ABCD得周长为32 m, 2(AE+AE)=32、 解得AE= c、 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图,CB、ECD均为等腰直角三角形，则图中与BD全等得三角形为_、【解析】 AEC【练习2】 如图,已知中，就就是得中点,，垂足为、,交得延长线于点、求证:、【解析】 ,，,、，,、又,、就就是得中点,，即、题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知:如图，四边形BCD就就是矩形(ADA),点E在C上,且A =AD,DAE，垂足为F、请探求DF与AB有何数量关系？写出您所得到得结论并给予证明、FADCEB【解析】 经探求，结论就就是：DF = B、 证明如下：四边形ABCD就就是矩形, B = ，AC, DAF AEB、 FE, AFD =，A AD，、 =F、【练习4】 如图,中，就就是上任意一点,交延长线于,于、求证:、【解析】 根据条件,、都与互余,、在与中，,、则,、【练习5】 四边形AD就就是正方形、如图1,点G就就是B边上任意一点(不与、两点重合）,连接A,作FAG于点F,DEAG于点E、求证:ABF E;在中,线段E与AF、F得等量关系就就是 (直接写出结论即可,不需要证明);如图2,点G就就是CD边上任意一点(不与、D两点重合),连接AG,作BAG于点F,EA于点E、那么图中全等三角形就就是 ，线段E与A、B得等量关系就就是 (直接写出结论即可，不需要证明)、【解析】 在正方形BCD中,BAD,在A与DA中(AA)ADE课后测测试1. 问题:已知中，,点就就是内得一点,且,、探究与度数得比值、请您完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明、当时,依问题中得条件补全右图、观察图形，与得数量关系为_;当推出时，可进一步推出得度数为_； 可得到与度数得比值为_、 (20北京中考)【解析】 相等; ； 测试2. 已知:如图,在ABC中,于点，点在AC上，E=BC,过E点作A得垂线,交CD得延长线于点、求证:AB=FC、【解析】 于点，,、又于点,、在与中,、测试3. 如图， RtABC中,C=90,一条线段PQ=AB，P,两点分别在AC上与过点且垂直于A得射线AM上运动、 当AC与PQ全等时，点Q到点A得距离为_ 、5cm或10m、