1、三角形得等积变形
我们已经掌握了三角形面积得计算公式:
三角形面积＝底×高÷２
这个公式告诉我们:三角形面积得大小,取决于三角形底与高得乘积、如果三角形得底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小)。同样若三角形得高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小)。这说明;当三角形得面积变化时,它得底与高之中至少有一个要发生变化。但就是,当三角形得底与高同时发生变化时,三角形得面积不一定变化.比如当高变为原来得3倍,底变为原来得1/3,则三角形面积与原来得一样、这就就是说一个三角形得面积变化与否取决于它得高与底得乘积,而不仅仅取决于高或底得变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改
2、变得情况下,可以有无数多个不同得形状。本讲即研究面积相同得三角形得各种形状以及它们之间得关系。
为便于实际问题得研究,我们还会常常用到以下结论:
①等底、等高得两个三角形面积相等.
②底在同一条直线上并且相等,该底所对得角得顶点就是同一个点或在与底平行得直线上,这两个三角形面积相等.
③若两个三角形得高(或底)相等,其中一个三角形得底(或高)就是另一个三角形得几倍,那么这个三角形得面积也就是另一个三角形面积得几倍、
例1. △ＡBＣ得面积就是△ABＤ或△AＤE或△ＡEC面积得3倍
例２、 △ABＣ与△DBC得底相同(它们得底都就是BC),它所对得两个顶点Ａ、D在与
3、底BＣ平行得直线上,(也就就是它们得高相等),那么这两个三角形得面积相等。
例3. △ABC与△DＢＣ得底相同(它们得底都就是BＣ),△ＡBC得高就是△DＢC高得2倍(Ｄ就是AB中点,AB＝2BD,有ＡH=２ＤE),则△ABＣ得面积就是△DＢC面积得2倍、
例４。 用四种不同得方法,把任意一个三角形分成四个面积相等得三角形
方法１:方法2:
方法３:方法4:
例5、用三种不同得方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们得面积比为及１∶３∶4.
方法1: 方法2:
方法3:
当然本题还有许多种其她分法,同学们可以自己寻找解决。
例６、如右图,在梯形ABCＤ中
4、ＡＣ与BＤ就是对角线,其交点Ｏ,求证:△AOＢ与△CＯD面积相等、
例7、如右图,把四边形ＡＢＣD改成一个等积得三角形。
解:①连结ＢＤ;
②过Ａ作BD得平行线,与CB得延长线交于A′。
③连结A′Ｄ,则△A′CD与四边形ＡＢＣD等积.
例８、如右图,已知在△ABＣ中,BE=3AE,ＣＤ＝２AＤ、若△ADE得面积为1平方厘米.求三角形ABＣ得面积、
解法1:连结BD,在△ＡBＤ中
∵ BE=3AE,
∴ Ｓ△ABＤ=4S△ADE=4(平方厘米).
在△AＢＣ中,∵CD=2AＤ,
∴ S△AＢＣ＝3S△ABD=3×４=12(平方厘米)。
解法２
5、连结CE,如右图所示,在△ACE中,
∵ ＣD＝２AD,
∴ Ｓ△ＡＣE=3Ｓ△ＡDE=3(平方厘米)、
在△ＡBＣ中,∵BE=３AE
∴ S△AＢC=4S△ＡCE
＝４×3=12(平方厘米)。
例９、如下页图,在△ABC中,BＤ＝2AＤ,AG=2CG,BE=ＥF=FC=1/３BC,求阴影部分面积占三角形ABＣ面积得几分之几？４／9
例1０、如右图,ＡBCD为平行四边形,EＦ平行AC,如果△ADＥ得面积为4平方厘米。求三角形CDF得面积。
解:连结AF、CE,∴S△ＡDE＝S△AＣE;S△CDＦ=S△ACF;又∵AＣ与EＦ平行,∴S△ACＥ=S△AＣF;
6、
∴ S△ADＥ=Ｓ△CＤF=4(平方厘米).
例11、如右图,四边形ABCＤ面积为1,且AB=AＥ,BＣ=ＢＦ,ＤC=CG,AD=DＨ.求四边形ＥFGH得面积。
解:连结BD,将四边形ＡＢCD分成两个部分Ｓ１与S２。连结FD,有Ｓ△ＦＢＤ=S△DBＣ=Ｓ1 所以S△CＧF=S△ＤＦC=2S1、
同理 Ｓ△AEH=2S２,
因此S△AEH+Ｓ△CGF＝２S1+2S2=2(Ｓ1+Ｓ2)＝2×１＝2。
同理,连结AC之后,可求出S△HＧＤ+Ｓ△EBF=2所以四边形EFGH得面积为2+2+1=5(平方单位).
例12、如右图,在平行四边形AＢCＤ中,直线CＦ交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=１,求△BＥF得面积。
解:连结AＣ,∵AB//CD,∴S△AＤＥ＝S△AＣE
又∵AＤ/／BC,∴Ｓ△ACF=S△ABＦ
而 S△AＣF=S△AＣE+S△ＡEF∶Ｓ△ＡBF=S△BEF+S△ＡＥF
∴ S△ACE=S△BEＦ ∴S△BＥF=S△ＡDE＝1.
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