初三圆知识点-专项复习187.pdf

-1-一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；drC2、点在圆上 点在圆上；drB3、点在圆外 点在圆外；drA练习题：一个圆的直径为练习题：一个圆的直径为，到圆心的距离为，到圆心的距离为，则该点在圆，则该点在圆 cm8cm5三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；drrddCBAO-2-2、直线与圆相切 有一个交点；dr3、直线与圆相交 有两个交点；drdrd=rrd练习题：、一个点到圆的最短距离为练习题：、一个点到圆的最短距离为，到圆的最长距离为，到圆的最长距离为，则这个圆的半径为，则这个圆的半径为 cm3cm9四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 ；dRr外切（图 2）有一个交点 ；dRr相交（图 3）有两个交点 ；RrdRr内切（图 4）有一个交点 ；dRr内含（图 5）无交点 ；dRr周 1rRd 周 3rRd 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；周 2rRd周 4rRd周 5rRd-3-OCBA （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD 弧弧ACBD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；AOBDOE ABDE；弧弧OCOFBABD练习题：如图，练习题：如图，O 为为的外心，若的外心，若,则则=ABC050BACOBC 七、圆周角定理OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO-4-5周 周DCBAOCBA6周 周1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。6 6、如图四边形、如图四边形 ABOC，（O 为圆心）为圆心），若，若,则则0130BOC_ADCBAOCBAOCBAO-5-7周 周CBAO八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 练习题练习题 5：边形：边形 ABCD 内接于内接于OO，若，若,则则0150ABC_ADC7、如图，、如图，,则则0110AOB_ACB九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。EDCBANMAO-6-MAOB11周周11、如图，、如图，OO 的半径为的半径为 6 6，弦，弦,M,M 是弦是弦 ABAB 上的动点，最线段上的动点，最线段 OMOM 的最小值为的最小值为 10AB，最大值为，最大值为 十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。PBAOPODCBAOEDCBA-7-即：在中，直径，OABCD 2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPB 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即：、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；12Rt OO C22221122ABCOOOCO（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。2CO2CODECBPAOBAO1O2CO2O1BA-8-十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：OABCRt BOD；:1:3:2OD BD OB（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE：:1:1:2OE AE OA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式：213602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积nRlSDCBAOECBADOBAOSlBAO-9-2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）=SSS侧表底2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO-10-中考真题中考真题1（陕西）如图，在 RTABC 中ABC=90，斜边 AC 的垂直平分线交 BC 与D 点，交 AC 与 E 点，连接 BE（1）若 BE 是DEC 的外接圆的切线，求C 的大小？（2）当 AB=1,BC=2 是求DEC 外界圆的半径2(安徽)如图所示，在圆O 内有折线 OABC，其中 OA8，AB12，AB60，则 BC 的长为（）A19 B16 C18 D203（福州）.（满分 11 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点 P 在O 上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若 BC=3，sinP=，求O 的直径。35-10-BAO